求數列通項公式的常用方法

陳雪濤

數列是高中數學的重要內容，而數列的通項公式是數列的核心，它如同函數的解析式一樣，有解析式便可研究其性質，而有了數列的通項公式，便可求出任意一項及前n項的和.本文介紹求數列通項公式的一些常用方法，供讀者參考.

1.觀察法

例1求下列各數列的一個通項公式：

（1） 0.9 ， 0.99， 0.999 ， 0.9999 ， …；

（2） -2，54，-109，1716，….

解（1）將數列中的項和1進行比較就會發現：

a1=0.9=1-110，a2=0.99=1-1100，

a3=0.999=1-11000，…

因此an=1-110n.

（2）將數列的各項變為-21，54，-109，1716，…注意觀察各項的符號是正負交替出現的，分母是一組平方數，分子比分母大1，因此an=（-1）n×n2+1n2.

2.公式法

若已知數列是等差（或等比）數列，可運用等差（或等比）數列的通項公式求解.

例2已知數列{log2（an-1）} （n∈N*）為等差數列，且a1=3，a3=9.求數列{an}的通項公式.

解設等差數列{log2（an-1）}的公差為d，

由a1=3，a3=9得2d=log2（9-1）-log2（3-1），

即d=1.

所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，

從而an=2n+1.

3.運用an與Sn的關系求通項公式

運用數列的通項an與數列的前n項和Sn的關系an=S1（n=1），

Sn-Sn-1（n≥2）求數列的通項公式時，要注意關系式中的條件.

例3已知數列{an}的前n項的和Sn滿足：Sn=3+2n，求數列{an}的通項公式.

解由Sn=3+2n，（1）

得Sn-1=3+2n-1 （n≥2）.（2）

（1）-（2）得Sn-Sn-1=2n-2n-1 （n≥2），

即an=2n-1 （n≥2）.

由已知得a1=S1=5，不滿足an=2n-1，

所以an=5，n=1，

2n-1，n≥2.

4.由數列的遞推公式求通項公式

由數列的遞推公式求通項公式常用的數學思想是化歸與轉化，把數列化成等差或等比數列.根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的.

（1）形如an-an-1=f（n）的形式，采用累加法.

例4已知數列{an}中，a1=2，an+1-an=3n （n∈N*），求數列{an}的通項公式.

解由an+1-an=3n （n∈N*）得

a2-a1=3×1，

a3-a2=3×2，

a4-a3=3×3，

…

an-an-1=3×（n-1），（n-1）個式子相加得：

an-a1=3×[1+2+…+（n-1）]=3×n×（n-1）2，

所以an=2+3n（n-1）2 （n≥2）.

又a1=2滿足上式，

所以數列{an}的通項公式為an=2+3n（n-1）2.

（2）形如anan-1=f（n）的形式，采用累乘法.

例5已知數列{an}中，a1=12，（n-1）2an-1=（n2-1）右頂點，則常數a的值為.

解析由直線l的參數方程x=t，

y=t-a （t為參數）消去參數t得直線l的一般方程：y=x-a.由橢圓的參數方程可知其右頂點為（3，0）.因為直線l過橢圓的右頂點，所以3-a=0，即a=3.

點評求未知參數的基本方法是先將極坐標方程或者參數方程轉化為直角坐標方程，判斷其類型，根據類型找出它們特有的性質，最后應用代數或幾何關系列出相應的等式求解.

題型7根據曲線的參數方程求兩曲線的交點的個數

例7（2012年北京）直線x=2+t，

y=-1-t （t為參數）與曲線x=3cosα，

y=3sinα （α為參數）的交點的個數為.

解析直線方程可化為x+y-1=0，曲線方程可化為x2+y2=9，圓心（0，0）到直線x+y-1=0的距離d=12=22<3，所以直線與圓有兩個交點.

點評事實上，此類題型還有求曲線與曲線的交點，就是求方程組的實數解問題.

本文對坐標系與參數方程僅給出7種題型及其相應的解答方法，為高中此部分的專題教學提供參考.要提高專題的質量，我們還需研讀《普通高中數學課程標準》，領會教科書的編寫意圖，結合實際，才能制定出科學的教學方案.an （n≥2），求數列{an}的通項公式.

解由（n-1）2an-1=（n2-1）an （n≥2），

得anan-1=n-1n+1 （n≥2），

a2a1=13，

a3a2=24，

a4a3=35，

…

anan-1=n-1n+1 ，（n-1）個式子相乘得：

ana1=13×24×35×…×n-3n-1×n-2n-1×n-1n+1

=1×2n（n+1），

所以an=1n（n+1） （n≥2）.

又a1=12滿足上式，

所以數列{an}的通項公式為an=1n（n+1）.

（3）形如an=Aan-1+B （A、B是常數）的形式，采用構造法，構造以A為公比的等比數列.

例6已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式.

解因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），

所以數列{an+1}是首項為a1+1=2，公比為2的等比數列.

所以an+1=2×2n-1，所以an=2n-1.

例7已知數列{an}中，a1=4，2an+1=an+1，求數列{an}的通項公式.

解待定系數法

因為2an+1=an+1，

所以an+1=12an+12（1）

設an+1+x=12（an+x），

所以an+1=12an-12x（3）

由（1）、（2）可得12=-12x，所以x=-1.

所以數列{an-1}是首項a1-1=3，公比為12的等比數列.

所以an-1=3×（12）n-1，所以an=3×（12）n-1+1.

（4）形如an=Aan-1+An （A為常數）的形式，采用構造法，構造以1為公差的等差數列.

例8已知數列{an}，a1=1，an=3an-1+3n （n≥2），求數列{an}的通項公式.

解由an=3an-1+3n （n≥2），兩邊同時除以3n得

an3n=an-13n-1+1，

所以an3n-an-13n-1=1 （n≥2）.

所以數列{an3n}是首項為a13=13，公差為1的等差數列.

所以an3n=13+（n-1）×1=n-23，

所以an=3n（n-23）=n·3n-23·3n=n·3n-2·3n-1=3n-1 （3n-2）.

故數列{an}的通項公式是an=3n-1（3n-2）.

（5）形如an=Aan-1+Bn （A、B為常數）的形式，采用構造法，構造以A為公比的等比數列.

例9已知數列{an}，a1=2，an+1=2an+3n，求數列{an}的通項公式.

解設數列{an}滿足an+1+λ·3n+1=2（an+λ·3n） （λ∈R），

整理得an+1=2an-λ3n.

又an+1-3n+1=2（an-3n），所以λ=-1，

所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以an+1-3n+1an-3n=2，

故數列{an-3n}是首項為a1-3=-1，公比為2的等比數列.

所以其通項公式是an-3n=-1×2n-1，

故數列{an}的通項公式是an=-1×2n-1+3n=3n-2n-1.

（6）形如an=Can-1A+Ban-1 （A、B、C為常數）的形式，往往取倒數，構造等差（或等比）數列.

例10已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an1+6an，求數列{an}的通項公式.

解由已知可知an≠0，故對an+1=an1+6an式子兩邊同時取倒數，

得到1an+1=1+6anan=1an+6，所以1an+1-1an=6，

故數列{1an}是首項為1a1=1，公差為6的等差數列.

所以1an=1+（n-1）·6，所以an=16n-5，

故數列{an}的通項公式是an=16n-5.

（7）關于an+1或an的二次三項式的形式，常常通過分解因式，達到求通項公式的目的.

例11已知首項為1的正項數列{an}滿足（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，求數列{an}的通項公式.

解由（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，

得[（n+1）an+1-nan]·（an+1+an）=0.

因為an>0，所以an+1+an>0，

故（n+1）an+1-nan=0，所以an+1an=nn+1.

轉化為anan-1=f（n）的形式，采用累乘法可求得數列{an}的通項公式為an=1n.