巧用“函數對比法”進行實驗誤差分析

姜慶榮 聶傳虎

測電源電動勢和內阻實驗在高中階段是高考的一個重點內容，而該實驗的一個難點就是對實驗的結論進行誤差分析.誤差分析的方法有很多，各種教輔材料中主流的誤差分析法主要有三種：（1）解析法，（2）等效電源法，（3）圖像法.下面先對這三種誤差分析的方法做簡單的說明.

一、幾種常見的誤差分析法

1.解析法

將實際數據所聯立的方程組解得的電源電動勢和內阻與真實值進行比較.

此法要求學生具有較好的解復雜的二元一次方程組的能力.數學功底較差的同學即使知道誤差分析的原理，也可能無法完成對復雜二元一次方程的求解.

2.等效電源法

將電表和電源的組合看成是等效電源，再分析等效電源的電動勢和內阻與真實電動勢和內阻之間的關系，從而進行誤差分析.該方法看上去比較簡單，實際對學生的要求很高，其缺陷在于，學生在將電源與電壓表并聯時如何正確看待等效電源的斷路電壓以及并聯等效內阻時存在較大的思維障礙.

3.圖象法

先作出理論的U-I圖象，然后根據實際的實驗電路的誤差來源，通過描點法作出實際的U-I圖象，然后比較理論圖與實際圖之間的差別，由圖象的截距和斜率來判斷測量值和真實值之間的差異.這種方法比較直觀，對于熟練掌握誤差來源以及圖象功底比較扎實的學生來講，此法較為簡單.但對于中等或以下水平的學生來講，這種方法是比較難以理解的，而且用這種方法只能定性進行誤差分析，至于誤差是為多少的定量問題，這種方法就無法解決了.

二、函數對比法的應用

本文將對一種直接誤差分析法進行研究，筆者稱之為“函數對比法”.測電源電動勢和內阻的基本實驗方案有伏安法、伏阻法、安阻法等.每種方法都必須測出兩個變量，然后根據閉合電路歐姆定律列出關于這兩個變量的一次函數方程.所謂函數對比法，即：將考慮系統誤差和不考慮系統誤差的兩個方程進行對照（主要是方程系數的對照），得到測量值和理論值之間的關系，從而對系統誤差作更深入的定量研究.筆者就“測電源電動勢和內阻”的實驗的幾種不同的實驗方案，采用函數對比法進行誤差分析研究.

1.實驗方案1的誤差分析

實驗方案1（即伏安法的一種連接方式）的實驗電路圖如圖1所示，理想情況下，閉合電路歐姆定律可寫成

U=E-Ir（1）

其中U指路端電壓，I指干路電流，若用不考慮系統誤差的U、I組建方程組，解出的當然是真實的E和r.但是由于電流表分壓，電壓表測得的并不是真實的路端電壓，可用U測表示，電流表讀數用I測表示.根據閉合電路歐姆定律，考慮系統誤差后的的方程應為

U測=E-I測（r+RA）（2）

將（2）式與（1）式進行對照，不難發現有U測、I測組建的方程組解得的值應為E測=E和r測=r+RA.所以采用這種連接方式所測出的電源電動勢是正確的，而電源的內阻則測大了.

2.實驗方案2的誤差分析

若采用圖2的連接方式（伏安法的另一種連接方式），我們不妨也來做個嘗試.此時電壓表測的是準確的路端電壓，但由于電壓表的分流，電流表測得的值小于真實的干路電流.則實際情況下閉合電路歐姆定律的表達式應為：

U測=E-（I測+U測RV）r（3）

U測=E-I測r-U測RVr（4）

U測（1+rRV）=E-I測r（5）

U測=RVRV+rE-I測（6）

將（6）式與（1）式進行對比，可知由U測、I測組建方程組所得的解應為E測=RVRV+rE和r測=rRVRV+r.所以采用此種連接方式測得的電動勢偏小了，電源內阻也偏小了.

3.實驗方案3的誤差分析

實驗方案3（伏阻法）電路圖如圖3所示.此法的閉合電路歐姆定律的表達式寫成：

U=E-URr（7）

變形得1U=1E+rE·1R（8）

而實際實驗測得的數據記為U測和R測，考慮系統誤差后的閉合電路歐姆定律表達式應寫成

U測=E-（U測RV+U測R測）r（9）

變形得U測[1+（1RV+1R測）r]=E（10）

將（10）式兩邊取倒數，再變形有

1U測=1E[1+（1RV+1R測）r]（11）

現在的目的是將（11）式變化成（8）式的形式，從而更好地與（8）式進行對照.

1U測=1E（RV+rRV）+rE·1R測（12）

將（12）式再變形得

1U測=1ERVRV+r+rRVRV+rERVRV+r·1R測（13）

將（13）式與（8）式進行對比不難發現，用U測和R測得到的解應為

E測=ERVRV+r和r測=rRVRV+r.

所以采用實驗方案3所測得電源電動勢和內阻均偏小了.

4.實驗方案4的誤差分析

實驗方案4（安阻法）電路圖如圖4所示.此法的閉合電路歐姆定律的表達式寫成：

I=ER+r（14）

變形得1I=1ER+rE（15）

而實際實驗測得的數據記為I測和R測，考慮系統誤差后的閉合電路歐姆定律表達式應寫成

I測=ER測+r+RA（16）

變形得1I測=1ER測+r+RAE（17）

將（17）式與（15）式進行對比不難發現，用I測和R測得到的解應為

E測=E，r測=r+RA.

所以采用實驗方案4所測得電源電動勢是準確的和內阻均偏大了.

三、“待定系數法”進行誤差分析的拓展應用

題目設計某實驗小組設計了測小球運動初速度和加速度的實驗，實驗裝置如圖所示.一平直長木板，表面粗糙程度均勻，長木板末端固定一擋板A，將長木板末端墊起，并保持長木板與水平面的夾角恒定.一輕質軟彈簧一端固定于擋板A，自然伸長時彈簧另一端能夠達到D點.長木板B處裝有速度傳感器.現將一小球放在彈簧的前端并輕微壓縮至C點，同時用細線穿過彈簧將小球和擋板A相連接，（CD距離足夠短，可忽略不計），測出BC間的距離為x.現燒斷細線，小球下滑時經過B點的速度由速度傳感器測出，記為v，求：

（1）改變速度傳感器所在的位置B點，重復幾次上述步驟，可得到一組關于x和v的數據.現作出v2-x的圖像，如圖所示.直線的斜率為k，縱坐標軸的截距為b，則小球脫離彈簧瞬間的速度大小v0=，小球脫離彈簧后的加速度大小a=（結果用k、b表示）.

（2）若CD間距離不可忽略，但由于疏忽，測量時還是取BC之間的距離為x，從而可能給實驗帶來誤差.若依然按（1）中的思想求v0和a，則測出的v0，a（選填“偏大”、“偏小”或“無誤差”）.

解析（1）小球脫離彈簧后做勻加速直線運動，所以有

v2-v20=2ax得v2=2ax+v20（1）

結合圖像可知k=2a，b=v20，

所以，a=k2，v0=b.

（2）假設CD間的距離為x′，CB間的距離用x測表示，小球到達B的速度用v測表示，考慮到實驗誤差，實際的方程應寫成

v2測-v20=2a（x測- x′）

變形得v2測=2ax測+（v20-2ax′）（2）

將（2）式與（1）式進行對照可知，加速度的測量是準確的，初速度的測量偏小了.測得的具體值與真實之間的關系為：a測=a，v0測=-2ax′+v20.

“待定系數法”的方法總結：先根據實際實驗電路圖寫出實際的方程，再將該方程和原始理論的方程進行系數的對照，從而得出測量值與真實值之間的關系.操作的關鍵在于如何將實際的方程轉化成和理論方程類似的形式.這種方法相比于等效電源法和圖象法來講更為嚴謹，不僅可以得出測量結果偏大偏小的問題，還可以得到具體誤差的大小，是一種比較常規的、易懂的誤差分析法，此法建立在一定數學運算的基礎上，學生在進行其他實驗的誤差分析時也可以采用類似地思想進行研究.