故事串聯 探究為重
——數學史融入“位置的表示方法”的教學

◇華 妹 岳增成

故事串聯 探究為重
——數學史融入“位置的表示方法”的教學

◇華 妹 岳增成

一 引言

“位置的表示方法”是滬教版教材四年級下冊“數學廣場”中的內容，編排相當簡單，僅在呈現海島圖的基礎上，設置了用數對表示位置、根據數對確定位置兩組題目，這樣處理未能體現出數對內容是一維數射線向二維平面轉化這一關鍵知識，而這一知識卻是滲透坐標思想的主要內容。目前已有案例中存在沒有從學生的認知起點出發設計教學活動，學生“很自然地”跟著教師的思路用兩個數表示物體的位置，僅從知識掌握的角度出發設計教學活動，缺乏情境的有效串聯等問題，很難達到促進學生空間觀念的發展、為學生學習解析幾何奠定基礎的目的。

不能從學生的認知起點出發，不能有效地設計探究活動，是目前小學數學教學中普遍存在的問題。該如何解決呢？數學史帶來了很好的啟示，因為數學史融入數學課堂具有激發學生的學習動機，向學生展示概念的發展過程，以加深他們對概念的理解，為學生提供探究的機會等教育價值。[1]

鑒于此，本節課欲達成如下目標：（1）結合具體情境，引導學生學會用有序數對表示物體的位置，會根據已知數對對物體進行定位；（2）引導學生經歷用數對確定物體位置的發生、發展過程，體驗用數對確定物體位置的必要性和簡潔性，滲透坐標的思想，發展學生的空間觀念；（3）引導學生在“參與”古人的活動過程中，了解數學人文的一面，增強學生數學學習的興趣和信心。

二 材料及其運用

用數對表示物體位置的思想古已有之，最早可以追溯到古埃及時期。古埃及的土地測量員在規劃土地、城鎮時，會在一個由直線構成的方格中放入象形文字符號表示土地、建筑物的位置，后來古希臘的地理學家、天文學家會用經緯度對天空、地球表面的位置進行定位，古羅馬的土地測量員甚至會用一根東西走向和一根南北走向的軸線對城鎮進行布局。

然而，真正使數對知識理論化的人是勒內·笛卡兒（René Descartes，1596—1650）。他是法國著名的哲學家、數學家、科學家。據傳，笛卡兒一直在為解決動態幾何問題而絞盡腦汁。一天早晨，當他醒來的時候，看見一只蒼蠅正在他屋頂的天花板上爬行，他豁然開朗：如果知道了蒼蠅與兩相鄰墻壁的距離之間的關系，就可以描述出蒼蠅在天花板上爬行的路線?；诖?，他創建了坐標系，這樣一來，在坐標平面上任意一點的位置就可以用數對，也就是坐標表示出來了。

據此，我們以笛卡兒的故事引入新課，重現笛卡兒建立坐標系的過程，通過一維數射線向二維平面的轉換，引發學生的認知沖突，并以笛卡兒一天的活動為線索，創設活動情境，讓學生像數學家一樣經歷數對的發生、發展過程。

三 教學設計與實施

1．新課引入。

教師問學生是否知道笛卡兒，接著介紹笛卡兒的生平：“他是17世紀法國著名的哲學家、數學家，他在數學方面有很多貢獻，也說過很多名言，比如，越學習越發現自己的無知；讀杰出的書，猶如和過去最杰出的人物促膝交流。這些都鼓勵我們要多讀書、讀好書?！彪S后，運用笛卡兒發現坐標系的故事引入新課：“笛卡兒小的時候因為身體虛弱，養成了早上賴床的習慣，而賴床的時間他都用來沉思。有一天早上，他蒙蒙眬眬地醒過來，看見天花板上有只蒼蠅在爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰的兩面墻壁的距離之間的關系，就可能描述它的路線了?！?/p>

2．概念探究。

教師出示天花板與蒼蠅圖片（如圖1），問學生：“當蒼蠅在天花板邊界時，我們怎么確定它的位置？”通過追問，學生回想起數射線的有關內容。

教師在圖1中呈現數射線，并引導學生說出蒼蠅在數射線上的位置是5，總結出在數射線上用一個數可以表示一個點的位置。接著，教師利用動畫演示蒼蠅爬到天花板中間位置的情形。

圖1

師：生活中，蒼蠅不會長時間停留在一個位置，它爬呀爬，停在了天花板中間（如圖 2），我們能不能確定它的位置？

圖2

生：可以。

師：怎么確定？能不能具體說一說？

生1：先確定它在哪一條線上，再確定它在哪一個格子里。

生2：它在從下往上數的第三根橫線上，從左往右數的第五根豎線上。

生3：我覺得有一個更簡便的方法，畫兩根數射線就可以了，一根表示橫向的，一根表示豎著的。

師：聽清楚他的回答了嗎？他說剛剛我們用一條數射線表示一條射線上點的位置，現在我們可以用兩條數射線來表示，一條橫著來，一條豎著來。在這里老師把這兩條數射線提供給大家（如圖2），有了這兩條數射線，你能確定蒼蠅的位置了嗎？

通過師生對話，學生認識到了約定起點、確定標準的重要性，并得出了蒼蠅的位置是第4列第2行的一致結論。

師：數學的一大特點就是簡練。用文字表達比較麻煩，你能不能用更簡潔的方法將第4列第2行表示出來？寫完后，同桌之間交流一下，看看能不能想出更多方法。

學生寫出的答案有：4.2；4,2；4↑2→；（4,2）；4/2；4 2等。

師：同學們都非常厲害，我們來看一下，這些表示方法都有一個共同點，是什么？

生：都有4和2。

師：同學們，如果你們生活在那個年代，你們創造的這些方法可能會在數學史上留下很重要的一筆。你們想不想知道笛卡兒是怎么表示的？

為了避免歧義的產生，教師引導學生對自己寫出的答案逐個分析，得出了用（4,2）表示蒼蠅的位置，并借用（4,2）引出了數對的定義、讀法、組成，數對中出現的數的含義等。接著，繼續借用動畫演示蒼蠅停留的新位置，進行練習、辨識，比如，數對（3,8）、（8,3）是不是表示同一個位置，如何確定這兩個數對表示的位置，并最終總結出數對中的數相同、順序不同，所表示的位置不同，也就是說，一個數對在圖中僅對應一個位置。

3．新知應用。

師：笛卡兒美好的一天才剛剛開始，起床后，笛卡兒來到教室上課。老師拿出一張座位表，他請座位表上三位同學來介紹自己。你能用數對表示他們的位置嗎？（如圖3）

教師引導學生從確定起點開始，經歷橫軸、縱軸的確立，通過小組合作在學習單上將兩類問題（給出人名找出位置并用數對表示，給出數對找出是誰的位置）解決，確定找位置的原則是“先看橫軸再看縱軸”，即“先橫后縱”。

圖3

4．知識升華。

師：晚上，笛卡兒約了兩個朋友一起去看歌劇，笛卡兒在2排1座，玲達在3排1座，梅西在4排1座。根據這些信息，你能在學習單上找到他們的位置嗎？（如圖 4）用數對表示，并用圓點標記出來。

圖4

通過師生對話，學生確定了用（1,2）而不是（2,1）來表示笛卡兒的位置；通過教師引導，學生更加深刻地認識到找位置“先橫后縱”的原則。通過對表示笛卡兒、玲達、梅西三人位置的數對（1,2）、（1,3）、（1,4）的分析與觀察圖像，學生知道了這三個人的位置在同一列上。最后，教師結合現實世界提出：“在日常生活中的劇院，有一種比較大的廳，座位中間有過道，這個時候我們運用橫軸和縱軸確定位置時該如何確定起點呢？”

師：笛卡兒觀看了有關寶藏圖（如圖 5）的歌劇，故事的主人公是尼克和朱迪，你能用數對的知識幫助他們找到寶藏嗎？

通過集體回答，學生最終幫助尼克和朱迪找到了寶藏。

圖5

5．總結延伸。

師：今天這節課學習了什么？

生：位置的表示方法，數對。

師：你知道數對在現實生活中有哪些應用嗎？

學生簡單討論后，教師結合課件就數對在生活中的應用進行簡單介紹。

師：其實，數對在生活中的運用十分廣泛，如在棋盤上表示棋子的位置，在地圖上用經緯線表示國家的位置，在天文中表示北斗七星的變化。數對的發明為我們的生活提供了極大的方便，希望大家像笛卡兒先生一樣善于發現，勤于思考，做一個有心人。

師：如果蒼蠅不在天花板上爬了，而是飛到了空中，這時它的位置又該如何表示呢？這是以后我們所要學習的內容。下課后同學之間可以討論一下。

四 課后反饋

1．學生反饋。

課后，對全班27個學生進行問卷調查，并對部分學生進行訪談。

在知識的掌握層面，96%的學生確信自己聽懂了這節課，并寫出了這節課的重點內容即位置的表示方法、數對，認為這節課的收獲是掌握了表示位置的方法以及怎樣知道自己的位置。訪談也證實了這一點，甚至有兩個學生說已經學會了如何表示空間中的位置，“就是把橫軸、縱軸往下”。結合墻角的例子，在提示下，有4個學生很容易就理解了如何表示空間中的位置。

在對這堂課的評價方面，通過分析學生對“這節課中，你印象最深刻的是哪部分？為什么”的回答發現，答案主要集中在與笛卡兒有關的教學活動、參與了探究活動等，具體見表1。接受訪談的6個學生不約而同地表達了對這堂課的喜愛，原因包括因故事的穿插而簡單、生動，便于對知識的理解與掌握；認識了偉大的數學家；學習了數學、歷史、語文方面的知識等?？梢?，幾乎所有學生都認可這節課，而認可的理由驗證了數學史融入數學教學，具有激發興趣、拓寬知識面、為學生提供探究機會、加深對知識的理解等教育價值。

表1 對“這節課中，你印象最深刻的是哪部分？為什么”的回答的統計分析

在對數學史的認知方面，通過分析學生對“我愿意了解與教學內容有關的數學史”的選擇發現，93%的學生表示非常同意（78%）或同意（15%）。在“你希望課本里介紹相關數學家生平或相關數學史內容嗎？為什么”的提問中，學生全部給出了肯定的答復，在給出的28條理由中，選擇拓寬知識面（了解更多的數學知識、數學家、數學故事等）的超過一半（15人）。在“如果課本里出現數學史材料，你希望以哪種形式呈現？請簡要說明理由”的回答中，超過一半的學生的第一選擇是正文。這進一步回應了上文提及的數學史融入數學教學具有拓寬學生知識面、激發興趣、加深對知識的理解等教育價值。

2．教師反饋。

從2016年3月15日確定開課主題到 5月11日正式上課，HPM團隊與授課教師團隊共進行了7次研討（不包括兩個團隊內部的多次研討）。在研討的初期，授課教師團隊闡述了對數學史教育價值認識的局限性、數學史素材來源與使用手段的有限性等問題。經過這次活動，授課教師團隊對數學史的認識有了全方位的改變，他們紛紛表示數學史為他們的教育教學打開了一扇新的窗戶，深刻地認識到了上文提到的教育價值，并表示希望進一步嘗試這樣的課型。

通過研討、備課、試教、上課等活動，教師自身的觀念發生了轉變：數學不再是絕對真理的集合，也有人文的一面；不再將數學故事、原汁原味的數學史料視為設計教學的唯一，基于教學目的可以進行適當改編，或重構整個概念的發展過程；數學史不再是激發學習興趣、點綴課堂的附加物，它具有提供探究機會，幫助學生認識、理解數學等多重功能。

可見，將數學史融入課堂教學，對學生的學與教師的教均具有重要的價值。期待更多的老師參與其中。

[1]Fauvel J.Using History in Mathematics Education[J].For the Learning of Mathematics，1991，11（2）.

（作者單位：華東師范大學附屬紫竹小學,華東師范大學數學系）