過程教育
——以“平行線的判定（第1課時）”為例

☉浙江省寧波市北侖區東海實驗學校 虞朝霞

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）根據數學具有過程和結果的雙重性特征，倡導統籌兼顧過程與結果.但在以浙教版《數學》七年級下冊1.3節“平行線的判定（第1課時）”為載體的“多人同課異構式”的研修活動發現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，主要表現在：獲得“基本事實”的認知過程短暫和獲得“基本事實”之后的圖形變換過程缺失，導致學生對三角尺在畫圖過程中的作用的認識不夠充分，對“基本事實”的理解沒有達到一定的“深度”；用判定平行線的方法判定兩條直線平行的分析過程缺失，也沒有提供學生交流多樣化說理方法的機會，導致沒有充分發揮例題的潛在功能.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎上，按過程教育思想對該課的教學進行重建與實踐，改進后的課例得到了專家的認可.現整理成文，與讀者交流分享.

二、教學實錄

環節1：經歷回顧舊知并提出問題的過程——明確研究問題

師：請同學們回顧一下平行線的概念.

生1：在同一個平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.

師：由于直線無限延伸，檢驗它們是否相交有困難，所以難以直接根據平行線的概念來判斷兩條直線是否平行.有沒有其他判定平行線的方法？本節課我們就來探索平行線的判定方法.（揭示課題）

環節2：探索平行線的判定方法——同位角相等，兩直線平行

師：請大家依次完成下列任務.（允許小組合作）

（1）畫圖：用三角尺和直尺在白紙上畫兩條平行線.

（2）思考：用數學的眼光看畫平行線的過程，三角尺起到了什么樣的作用？

（教師等待學生完成任務）

師：我發現大家的畫圖方法可以抽象成如圖1、圖2、圖3、圖4所示的四種類型.

圖3

圖4

師：用數學的眼光看畫平行線的過程，三角尺起到了什么樣的作用？

生2：三角尺的作用是使“角”在沿直尺所在的直線定向移動過程中保持相等.

生3：三角尺的作用是保持同位角相等.

師：不錯.由此你發現可用什么方法來判定兩條直線平行？

生4：可用同位角相等來判定兩條直線平行.

師：好的.這是經驗的結果.如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2嗎？

圖5

圖6

生4：可以猜想：若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：一般地，可以形成怎樣的猜想？

生4：兩條直線l1，l2被第三條直線AB所截，若同位角相等，則直線l1∥l2.

師：以后可以證明你的猜想是正確的.這樣判定兩條直線平行有下面的方法：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單地說，同位角相等，兩直線平行.即如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：如圖6，將圖5中的直線AB繞點P旋轉至A′B′且∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生5：根據判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生6：根據判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠5=∠6呢？∠7=∠8呢？

生7：若∠5=∠6，則直線l1∥l2；若∠7=∠8，則直線l1∥l2.

圖7

圖8

師：好的.不管圖形的位置怎樣變化，只要有一對同位角相等，就能判定直線l1∥l2.它體現了“數量關系到位置關系”的過程.

師：若將圖5變為圖8且∠1=∠2=90°，則直線l1與l2是否平行？為什么？

生8：直線l1∥l2.因為∠1=∠2=90°，又∠1與∠2是直線l1、l2被直線AB所截的一對同位角，根據“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

師：有道理.∠1=∠2=90°，即l1⊥AB，l2⊥AB.由此你發現了什么？

生9：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

師：為何要加“在同一平面內”的限制條件？

生9：例如，墻角中的“這兩條線”垂直于“這條線”，但“這兩條線”不平行.

師：聰明！否定結論只要舉個反例即可.這樣判定平行線還有下面的方法：

在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.即如圖8，若l1⊥AB，l2⊥AB，則直線l1∥l2.

師：它體現了“位置關系到位置關系”的過程.

環節3：參與嘗試方法應用的活動——合作解答有代表性問題

師：我們一起來解答下列問題.

問題1：如圖9，直線l1，l2被直線l3所截，∠1=45°，∠3=135°.問：直線l1與l2是否平行？為什么？

圖9

師：現在判定兩條直線平行有哪幾種可行方法？

生10：平行線的判定方法1和判定方法2.

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說明直線l1∥l2，只要說明什么？

生11：∠1=∠2或∠3=∠4.

師：根據已知條件能求出∠2或∠4的度數嗎？

生11：能.∠2=45°，∠4=135°.

師：由此能得出∠1=∠2或∠3=∠4嗎？

生12：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=135°.

師：由此可知，直線l1∥l2.請大家把直線l1∥l2的理由規范地寫出來.

（教師等待學生完成任務）

師：誰來匯報說理的過程？

生13：因為∠2+∠3=180°，所以∠2=180°-∠3=180°-135°=45°.又∠1＝45°，所以∠1=∠2.因為∠1與∠2是直線l1，l2被直線l3所截的一對同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生14：因為∠1+∠4=180°，所以∠4=180°-∠1=180°-45°=135°.又∠3＝135°，所以∠3=∠4.因為∠3與∠4是直線l1，l2被直線l3所截的一對同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：說得真好！如圖9，若內錯角相等，則直線l1∥l2嗎？若同旁內角互補，則直線l1∥l2嗎？

生15：直線l1∥l2.因為這兩個條件都可以推出同位角相等.

師：好的.我們要養成解題之前分析和解題之后反思的習慣.

問題2：如圖10，已知直線l1，l2被直線AB所截，AC⊥l2于點C.若∠1=50°，∠2=40°，則直線l1與l2平行嗎？請說明理由.

圖10

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說明直線l1∥l2，只要說明什么？

生16：∠1+∠2=90°或∠ABC=∠1.

師：根據已知條件能求出∠1+∠2或∠ABC的度數嗎？

生16：能.因為∠1=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°.因為∠BAC=∠2=40°，又∠ACB=90°，所以∠ABC=90°-40°=50°.

師：由此能否得出直線l1∥l2？

生17：能.因為∠1=∠ABC，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生18：因為∠1＋∠2=90°，即l1⊥AC，又l2⊥AC，所以直線l1∥l2.（在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

生19：因為∠1＋∠2=90°=∠3，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：請大家把直線l1∥l2的理由規范地寫出來.

（教師等待學生完成任務）

師：誰來匯報說理的過程？

生20：因為∠1=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°，所以l1⊥AC.又l2⊥AC，根據“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，可得直線l1∥l2.

生21：因為∠2=40°，所以∠BAC=40°.因為∠ACB=90°，所以∠ABC=50°.因為∠1=50°，所以∠1=∠ABC.因為∠1與∠ABC是直線l1，l2被直線AB所截的一對同位角，根據“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

生22：因為∠1＋∠2=90°，又l2⊥AC，即∠3=90°，所以∠1＋∠2=∠3，所以l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：好的.學習幾何需要推理，我們要逐步熟悉上述這樣的推理語言.

接下來，要求學生完成課本中的練習題，并待學生完成任務后進行交互反饋與評價.

環節4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節課研究了哪些內容？

生23：本節課研究了判定平行線的方法及其應用.

師：獲得“同位角相等，兩直線平行”經歷了哪幾個步驟？

生24：畫圖→思考→猜想→表達.

師：好的.特殊到一般的探索策略和畫圖、猜想等探索方法，以后會經常用到.

師：用判定平行線的方法判定兩條直線平行經歷了哪幾個步驟？

生25：判斷→分析→說理.

師：好的.分析基礎上書寫求解（或推理）過程是解決問題的基本經驗.

師：大家在學習過程中有何感觸？

生26：通過畫圖也能發現幾何結論，否定結論只要舉個反例就可以了.

生27：說明結論成立要有理論依據，有時說明結論成立有多種方法.

生28：解題之前要分析，解題之后要反思.

師：太棒了！這些感悟或經驗對后繼學習有指導作用.大家認為還可以繼續研究什么？

生29：還可以從內錯角、同旁內角的數量關系來研究兩條直線的位置關系.

師：有道理.下節課我們繼續來探索平行線的判定方法.

三、教學說明

過程教育不是片面強調過程，而是根據數學結果的地位與作用，以及獲得數學結果（或解決問題）的過程和所蘊含的數學思想方法的價值來確定過程與結果的平衡點.其基本要求是：教學內容全面——不僅包括數學結果，也包括數學結果形成、應用的過程和所蘊含的數學思想方法.認知過程完整——根據數學結果的類型針對性地設計教學并引導學生經歷完整的認知過程.教學方法和諧——以合適的題材為載體，從學生已有的知識與經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式（特別要留給學生自主思考與實踐的時間和合作交流的機會），并用激勵的方法來評價學生在數學活動過程中的表現.［1］

“平行線的判定（第1課時）”的教學內容不僅包括平行線的判定方法，也包括平行線判定方法的形成、應用的過程和所蘊含的歸納思想、演繹思想、推理語言、說理的表述格式等.證明“同位角相等，兩直線平行”對學生來說有難度，浙教版教材把它看作基本事實，所以其教學性質是原理教學.平行線的判定方法是基礎知識，用平行線的判定方法判定兩條直線平行及簡單的說理是需要學生掌握的基本技能；經驗到理論和一般到特殊的研究方法在教學實踐中具有普適性.實踐告訴我們，獲得平行線判定方法的過程和用平行線判定方法判定兩條直線平行及簡單說理的過程有能力發展點、個性和創新精神培養點，其所蘊含的數學思想、推理語言、說理的表述格式等對發展學生的智力有積極影響.《課標》中課程內容對該課提出的教學要求是“掌握基本事實：同位角相等，兩直線平行”.在教師適度引導下，學生獲得判定兩直線平行的方法，雖然用判定方法判定兩條直線平行的難度不大，但是判定兩條直線平行之后的說理（有條理的推理與表達）對學生來說有一定的難度.

本課例根據平行線判定方法的教學性質及其地位與作用和所蘊含的教育價值，針對性地設計了“提出問題（暗示研究的必要性）→畫圖思考（用直尺和三角尺畫平行線并思考三角尺在畫圖過程中的作用）→歸納猜想（由特殊猜想一般）→表達方法（用文字語言和符號語言表達猜想得到的結果）→演繹欣賞（生成判定方法2）→解決問題（用獲得的判定方法判定兩條直線平行并說理）→反思內化（欣賞判定方法，感悟研究過程和所蘊含的數學思想，積累數學活動經驗）”的教學過程，運用了“把教學的側重點放在‘畫圖思考’‘解決問題（特別是說理）’上，并以教材提供的題材為載體，從學生已有的知識與經驗出發，采用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式和用激勵的方法來評價學生表現”的教學方法，以使學生對“基本事實”的認識能達到一定的“深度”，并能感悟三角尺在畫圖過程中的作用，能感悟其研究過程和所蘊含的數學思想，積累說理（推理與表述）經驗等.

浙江省數學特級教師鄔云德老師認為，該課例遵循了數學原理教學的基本規范，體現了過程教育和以學為中心的思想，統籌兼顧了過程與結果，可以實現“能發現并會陳述判定平行線的方法，會用判定平行線的方法判定兩條直線平行并會進行簡單的推理和表述，能感悟特殊到一般的探索策略和畫圖、觀察、猜想的探索方法，能在數學活動過程中有個性化表現”的教學目標，它對幫助教師理解與實踐過程教育有積極的影響.

教學實踐表明，這樣的整體性教學和有深度的教學，能“激發學生的學習興趣”“引發學生積極思考”“培養學生良好的數學學習習慣”“使學生掌握恰當的數學學習方法”.［2］

1.鄔云德.旨在統籌兼顧過程與結果的過程教育理論［J］.中學數學（下），2017（11）.

2.史寧中.義務教育課程標準（2011年版）教師學習指導（初中數學）［M］.北京：北京科海電子出版社，2011.H