算術運算規則單雙內容樣例學習效果的比較?

曲可佳，張 奇

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算術運算規則單雙內容樣例學習效果的比較?

曲可佳1，2，張 奇1，2

（1．遼寧師范大學 心理學院，遼寧 大連 116029； 2．遼寧師范大學 兒童青少年健康人格評定與培養協同創新中心，遼寧 大連 116029）

為了比較小學生數學運算規則的單內容樣例與雙內容樣例的學習效果，分別以乘法運算規則、四則混合運算中的“無括號”運算規則和算術平均數運算規則的單、雙內容樣例為學習材料，以小學一、二、三年級的學生為被試，進行了3項實驗研究．實驗結果表明：低年級小學生通過單內容樣例學習乘法運算規則、“無括號”四則混合運算規則的計算題和應用題以及平均數運算規則的計算題的效果明顯優于雙內容樣例的學習效果，但通過雙內容樣例學習平均數運算規則的應用題的效果優于單內容樣例的效果．

小學生；樣例學習；運算規則；單內容樣例；雙內容樣例

1 引言

近年來，樣例學習的研究取得了可喜進展，主要表現為樣例學習應用領域的擴大和樣例類型的不斷豐富[1]．單內容樣例（single-content examples）與雙內容樣例（double-content examples）是近年出現的一種樣例類型劃分．一般來說，只有一種學習內容（content level）的樣例（如所要學習的原理和規則等）被稱為“單內容”樣例，而包含兩種內容的樣例被稱為“雙內容”樣例．雙內容樣例包含“學習域”（learning domain）和“示例域”（exemplifying domain）兩方面知識．以數學應用題的內容為例，一個是應用題的解題規則，即學習域的知識；二是應用題主題的背景知識，即示例域知識．具體來說，學習域指的是樣例中所包含的概念、原理和規則等知識（這是樣例學習的主要內容）；示例域指的是樣例中所涉及的具體內容（例如問題的知識領域）[2-3]．學習者必須進行雙內容的加工，并整合兩方面的知識，才能真正掌握雙內容樣例的學習內容．

目前，關于雙內容樣例的研究主要是考察和驗證雙內容樣例在不同領域中的有效性，主要體現在新知識、技能和策略的學習中．首先，有研究考察了雙內容樣例在知識獲得中的作用．Hilbert等人考察了雙內容樣例在幾何證明題策略學習中的作用，發現了雙內容樣例能有效促進幾何證明題策略的學習，且完整樣例的效果更好[4]．Krause等探討了雙內容樣例在相關分析統計方法學習中的效果，同樣表明了雙內容樣例能夠促進該種知識的習得，且反饋與合作學習為雙內容樣例學習提供了有力的支持[5]．王宇的研究也表明，雙內容樣例在解二元一次方程應用題的學習中有較好的效果，而且相比于包含不熟悉示例域知識的樣例，被試學習包含熟悉示例域知識的樣例的遷移成績明顯更好[6]．其次，研究者也探究了雙內容樣例在新技能學習中的效果．Rummel等考察了雙內容樣例在合作技巧學習中的應用，發現雙內容樣例促進了應用階段中的合作過程和合作方案的質量[7]．還有研究探討了雙內容樣例在辯論技巧學習[2]、英文寫作技巧[8]和演示文稿制作技能[9]中的作用，均獲得了積極效果．最后，研究表明，雙內容樣例能夠有效促進學習策略的獲得[10-13]．例如，Hilbert等[10]考察了雙內容樣例在概念關系圖學習策略習得中的應用，并未發現雙內容樣例的促進作用．后續實驗中，在被試進行雙內容樣例學習時，加入自我解釋的提示，其學習結果好于沒有自我解釋的學習組．還有研究探討了樣例學習在獲得“學習日志”這一學習策略中的作用[11]．結果表明，與只學習文本材料的被試相比，樣例學習組的被試更能對所學知識進行精細加工，從學習材料中獲得更多信息．

通過上述研究可見，雙內容樣例能夠有效促進新知識、技能和策略的獲得．雙內容樣例使學生在具體的問題情境（示例域知識）中學習學習域的知識時，不會感到枯燥和抽象．而且，學生對示例域知識的了解有助于學習域知識的理解，雙內容樣例有助于學習域知識的應用和遷移，這些都是雙內容樣例的優點．不過，在雙內容樣例的學習中，學習者涉及對兩方面知識內容的認知加工以及兩者之間的整合加工，需要更多的心理資源，可能會加重學生的學習負擔．在雙內容樣例的學習中，只有設法降低學習者的認知負荷，才會取得較好的學習效果，因此，研究表明，在雙內容樣例的學習中，完整樣例效果好于不完整樣例[4]、熟悉樣例效果好于不熟悉樣例[6]、有反饋和自我解釋的樣例效果好于無反饋和無自我解釋的樣例[5，10]．

另一方面，作為傳統樣例學習方式的單內容樣例，其研究成果更為豐富．以往研究發現，單內容樣例在數學、物理、化學等多個學科的知識學習中有很好的促進作用．單內容樣例只包括一種學習內容，且逐步呈現解題步驟的形式，有助于個體學習新的規則．相比于雙內容樣例，單內容樣例的優點很突出，即所涉及的認知加工少于雙內容樣例，認知負荷相對較少．有研究表明，單內容樣例在諸多數學運算規則，如四則混合運算、比例運算、平方差、完全平方、指數對數轉換規則、概率原理、平均數差異檢驗、一元一次方程、等比數列等知識的學習中[14-19]均有良好效果．例如，邢強等[20]的研究發現，單內容樣例在數學概率原理、乘法原理、加法原理、互補原理的學習中有較好效果，其結果受到樣例的多重性和自我解釋的影響．郭建鵬等的研究也表明，單內容樣例在解一元一次方程的學習中有很好的效果[19]．

綜上，雖然以往研究考察了單、雙內容樣例的學習效果，但對于兩者在數學學習中的效果比較仍停留在理論分析的層面，缺乏相應的實證研究．由此，研究擬考察單、雙內容樣例在小學生算術運算規則學習中的效果．查閱小學教材可知，“數運算”和“簡單的統計”是小學數學的兩種主要內容，因此，選擇乘法、四則混合運算作為“數運算”知識的代表，選取算數平均數運算規則作為“簡單統計”的代表．此外，之所以選擇3種學習材料同時考察單、雙內容樣例的效果，是考慮到僅以1種學習材料考察兩種樣例的作用，說服力較差．為更好地揭示不同樣例的效果，研究擬以一、二、三年級小學生為被試，分別以乘法運算、“無括號”四則混合運算和算術平均數運算規則的單、雙內容樣例為學習材料，通過3個實驗考察單、雙內容樣例在3種運算規則學習中的效果．通過前面的分析可知，雖然雙內容樣例能夠促進一些新知識、技能和策略的獲得，但是在數學運算規則的學習中，其效果可能不如單內容樣例．此外，在目前的小學教育中，無論是教師采取的教學方式、教材中的知識呈現方式，還是學生慣有的學習習慣，單內容樣例都是主要的形式，這也可能會導致單內容樣例的學習效果更佳．據此，研究假設為：單內容樣例在學習乘法、“無括號”四則混合運算和平均數運算的規則時，其效果優于雙內容樣例．

2 乘法運算規則單雙內容樣例學習效果的實驗

2.1 實驗目的

考察一年級小學生乘法運算規則單、雙內容樣例的學習效果．

2.2 實驗方法

2.2.1 被試選取

從某城市普通小學的一年級學生中隨機抽取被試75名，排除未通過“前測”的學生，共篩選出有效被試60名，將其編號隨機分成兩個樣例學習組：單內容樣例學習組和雙內容樣例學習組，每組30人，每組中男女生人數大致相等，平均年齡=6.60歲，=0.84．

2.2.2 實驗設計

采用單因素被試間隨機分組實驗設計．樣例類型包括單內容和雙內容樣例兩個水平；因變量是樣例學習后的測驗成績，由3道計算測題和3道應用測題組成．

2.2.3 實驗材料

（1）前測材料：共有6道題目，前3道是加法計算題，后3道題目是乘法計算題．選擇答對3道加法計算題而不能正確計算3道乘法計算題的學生為正式被試．

（2）樣例學習材料：樣例包括3道乘法運算規則樣例．一種是單內容樣例，即乘法計算題樣例；另一種是雙內容樣例，即乘法應用題樣例．兩種樣例題一一對應，每一對樣例只有樣例形式不同，所涉及的運算規則和解題方法完全一樣．為確保所有學生能夠讀懂題目，所有題目均在課本中有所涉及，且實驗前和有多年教學經驗的小學數學教師共同確定．

（3）測驗材料由3道乘法計算題和3道乘法應用題組成．被試每答對一道題記1分，答錯記0分，滿分為6分．

2.2.4 實驗程序

（1）前測階段：事先將指導語和“前測”題用4號宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上．組織待選被試安靜地坐在自己的座位上．兩名被試的前后左右各空出一個座位．被試拿到測題紙后即可答題．答完題交卷走出教室．指導語為：“同學你好，請認真計算下面的題目，并寫下詳細的運算步驟．自己獨立完成，越準確越好．不會的題可以不答．10分鐘后收卷．”

（2）樣例學習階段：事先將指導語和樣例用4號宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上．兩組被試分別在不同的教室內同時學習不同的樣例學習材料10分鐘．指導語為：“同學你好，請你認真觀察和思考這些例題，盡量看懂并記住它的運算規則，10分鐘后收卷．”如對題目有不懂之處，學生可以隨時舉手提問，實驗者予以解答．

（3）測驗階段：主試收回樣例學習材料后即發給被試測驗材料．材料用4號宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上．測驗時間15分鐘．指導語為：“同學你好，請認真解答下面的題目，并寫下詳細的解題步驟．15分鐘后收卷．”

2.3 結果分析

分別以乘法計算題和應用題的后測成績為因變量，以樣例的類型為自變量，進行單因素方差分析．結果顯示，計算題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=14.01，<0.001，應用題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=5.83，<0.05．通過單內容樣例學習乘法計算題和應用題的效果均好于雙內容樣例的效果．被試后測成績的平均分與標準差見表1．

表1 被試后測成績的平均分與標準差

3 “無括號”四則混合運算規則單雙內容樣例學 習效果的實驗

3.1 實驗目的

考察二年級小學生“無括號”四則混合運算規則單、雙內容樣例的學習效果．

3.2 實驗方法

3.2.1 被試選取

從某城市普通小學的二年級學生中隨機抽取被試77名，排除未通過“前測”的學生，共篩選出有效被試60名，并將其編號隨機分成兩個樣例學習組：單內容樣例學習組和雙內容樣例學習組，每組30人，每組中男女人數大致相等，平均年齡=7.80歲，=0.65．

3.2.2 實驗設計

采用單因素被試間隨機分組實驗設計．樣例類型包括單內容樣例和雙內容樣例兩個水平．因變量是樣例學習后的測驗成績，由3道計算測題和3道應用測題組成．

3.2.3 實驗材料

（1）前測材料：共有7道題目，前4道是加法、減法、乘法和除法計算題，后3道題目是“無括號”四則混合運算計算題．選擇答對4道加法、減法、乘法和除法計算題而不能正確計算3道“無括號”四則混合運算計算題的學生為正式被試．

（2）樣例學習材料：樣例包括3道“無括號”四則混合運算規則樣例．一種是單內容樣例，即“無括號”四則混合運算計算題樣例；另一種是雙內容樣例，即“無括號”四則混合運算應用題．

（3）測驗材料由3道“無括號”四則混合運算計算題和3道“無括號”四則混合運算應用題組成．被試每答對一道測題記1分，答錯記0分，滿分為6分．

3.2.4 實驗程序

（1）前測階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語為：“同學你好，請認真計算下面的題目，并寫下詳細的運算步驟．自己獨立完成，越準確越好．不會的題可以不答．10分鐘后收卷．”

（2）樣例學習階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語如下：“同學你好，請你認真觀察和思考這些例題，盡量看懂并記住它的運算規則，10分鐘后收卷．”

（3）后測階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語為：“同學你好，請認真解答下面的題目，并寫下詳細的解題步驟．15分鐘后收卷．”

3.3 結果分析

分別以“無括號”四則混合運算規則的計算題和應用題后測成績為因變量，以樣例的類型為自變量，進行單因素方差分析．結果表明，樣例類型的主效應顯著，計算題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=4.41，<0.05；應用題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=6.42，<0.05．通過單內容樣例學習“無括號”四則混合運算規則的計算題和應用題的效果均好于雙內容樣例的效果．被試后測成績的平均分與標準差見表2．

表2 被試后測成績的平均分與標準差

4 平均數運算規則單雙內容樣例學習效果的實驗

4.1 實驗目的

考察3年級小學生平均數運算規則單、雙內容樣例的學習效果．

4.2 實驗方法

4.2.1 被試選取

從某城市普通小學的3年級學生中隨機抽取被試73名，排除未通過“前測”的學生，篩選出有效被試60名，并將其編號隨機分成兩個樣例學習組：單內容樣例學習和雙內容樣例學習組，每組30人，每組中男女人數大致相等，平均年齡=8.10歲，=0.74．

4.2.2 實驗設計

采用單因素被試間隨機分組實驗設計．樣例類型包括單內容樣例和雙內容樣例兩個水平．因變量是樣例學習后的測驗成績，由3道計算測題和3道應用測題組成．

4.2.3 實驗材料

（1）前測材料：共有7道題目，前4道是連加法和除法計算題，后3道題目是平均數計算題．選擇答對4道連加法和除法計算題而不能正確計算3道平均數計算題的學生為正式被試．

（2）樣例學習材料：樣例包括3道平均數運算規則樣例．一種是單內容樣例，即平均數計算題；另一種是雙內容樣例，即平均數應用題．

（3）測驗材料由3道平均數計算題和3道平均數應用題組成．被試每答對一題記1分，答錯記0分，滿分為6分．

4.2.4 實驗程序

（1）前測階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語為：“同學你好，請認真計算下面的題目，并寫下詳細的運算步驟．自己獨立完成，越準確越好．不會的題可以不答．10分鐘后收卷．”

（2）樣例學習階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語如下：“同學你好，請你認真觀察和思考這些例題，盡量看懂并記住它的運算規則，10分鐘后收卷．”

（3）后測階段：同乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗．指導語為：“同學你好，請認真解答下面的題目，并寫下詳細的解題步驟．15分鐘后收卷．”

4.3 結果分析

分別以平均數規則的計算題和應用題后測成績為因變量，以樣例的類型為自變量，進行單因素方差分析．結果表明，樣例類型的主效應顯著，計算題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=9.62，<0.01；應用題后測成績在樣例類型之間差異顯著，(1, 59)=5.72，<0.05．通過單內容樣例學習平均數的計算題的效果均好于雙內容樣例的效果．不同的是，通過雙內容樣例學習平均數的應用題的效果好于單內容樣例．被試后測成績的平均分與標準差見表3．

表3 被試后測成績的平均分與標準差

5 討論

實驗結果表明，低年級小學生在乘法運算規則和無括號四則混合運算規則的計算題和應用題以及平均數運算規則的計算題學習中，單內容樣例的學習效果顯著優于雙內容樣例的學習效果，但雙內容樣例在平均數運算規則的應用題學習中，效果優于單內容樣例的學習效果，即實驗結果部分驗證了研究假設．

首先，與雙內容樣例相比，小學生用單內容樣例學習算術運算規則之所以效果更好，主要原因有3點．一是單內容樣例比雙內容樣例的信息量少，可以使工作記憶容量有限的低年級小學生集中主要認知資源領會運算規則，掌握正確的運算步驟，減少后測中的運算錯誤．而雙內容樣例的信息量比單內容樣例的信息量大，占用的認知資源更多[1]，影響了對運算規則的正確理解和運算步驟的準確掌握．因此，單內容樣例的學習成績顯著優于雙內容樣例的學習成績．二是對雙內容樣例中示例域知識的學習占用了學生的認知資源．研究中，學生所學的雙內容樣例中的示例域知識都與小學生的生活經驗密切相關．小學生對應用題中的示例域知識比較熟悉，比較容易將正確理解和準確掌握的運算規則運用于應用題解題中．然而，盡管對示例域知識比較熟悉，但畢竟要或多或少地分散一些認知資源用于加工示例域信息，使加工運算規則和運算步驟的認知資源減少，從而使正確理解運算規則和準確掌握運算步驟的質量有所下降，后測成績也因而下降．三是實驗中學習的運算規則都是比較簡單的運算規則，通過單內容運算樣例就能學會這些規則，學習時對示例域知識的依賴較?。簿褪钦f，僅依賴運算樣例的學習就可以正確理解和掌握運算規則．以往研究對此提供了佐證，如，一些數學運算規則樣例學習的實驗結果[14，17-22]均表明，用單內容樣例學習算術和代數運算規則都取得較好的學習效果．

然而，為何在平均數的應用題成績上，學習雙內容樣例的學生測驗成績顯著優于學習單內容樣例的學生成績呢？經分析可能是如下原因．首先，如前所述，一、二年級的小學生處于數學學習的初期，雙內容樣例包含較多的信息量，勢必會增加學生的認知負荷，影響了樣例中學習域知識的學習效果．而三年級學生經過兩年的學習，數學學習能力和信息加工能力有了較大的提高，能夠更好地整合及加工雙內容樣例中的學習域和示例域知識．其次，乘法運算規則單雙內容樣例學習效果實驗和“無括號”四則混合運算規則單雙內容樣例學習效果實驗里，“雙內容”樣例中的示例域知識占用了一定的認知資源，影響了學習域知識的掌握．雙內容樣例中的示例域知識，如“每組”“每棵樹”“2倍”“貴4元”等，對該年級的學生來說，可能是不易理解的詞匯．對這些詞匯的理解正是掌握學習域知識的關鍵．隨著年級的提升和語言文字理解能力的發展，平均數運算規則單雙內容樣例學習效果實驗雙內容樣例中的示例域知識，如“平均每人”“平均每周”等重要詞匯不僅沒有阻礙學習域知識的獲得，反而成為學習學習域知識的有利背景信息，促進了學生對運算規則的理解和掌握．

綜上，雖然上述實驗結果表明低年級小學生用單內容樣例學習乘法、無括號四則混合運算等簡單算術運算規則的效果比學習雙內容樣例的效果更好，但并不意味著所有知識水平或年齡水平的學生學習任何運算規則的單內容樣例學習效果都比雙內容樣例的學習效果好，這一現象在平均數規則的學習中有所體現，即在平均數運算規則的應用題學習中，雙內容樣例的學習效果更佳．這可能與學生的數學能力、認知加工能力、文字理解水平等因素有關．若要進一步了解不同樣例類型在數學規則學習中的作用，應開展更多的實證研究進行驗證和探討．此外，有些運算規則，諸如在解決“逆水行舟/順水行舟問題”和“追及問題”時，盡管其解題規則和運算步驟也不十分復雜，但在解決具體問題時，規則的正確運用對示例域知識的正確理解依賴性較大，以至于不能正確理解雙內容樣例的示例域知識就不能正確地運用解題規則．在這種情況下，雙內容樣例的學習效果就可能比單內容樣例的學習效果更好．再比如，即使是掌握了同樣運算規則的學生，示例域知識豐富的學生在解決新穎應用題時的成績也可能比示例域知識貧乏的學生成績更好．因此，不能根據一兩個實驗結果得出以偏概全的結論．

單、雙內容樣例的學習效果既受學習內容的制約，也受學科知識領域的影響，更受學習者自身因素的影響．不同學科領域、不同知識內容和不同知識水平的被試的單、雙樣例學習效果可能有明顯的不同．開展兩種樣例學習效果比較研究，意義在于探究制約和影響單、雙樣例學習效果的具體因素和因素組合，使兩種樣例學習各自發揮其優勢作用，同時避免消極作用．如此得出的實驗結果用于指導學生的自主樣例學習才會獲益．

6 結論

低年級小學生通過單內容樣例學習乘法運算規則、“無括號”四則混合運算規則的計算題和應用題以及平均數運算規則的計算題的效果明顯優于雙內容樣例的學習效果，但通過雙內容樣例學習平均數運算規則的應用題的效果優于單內容樣例的效果．

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Comparison of Learning Effect between Single-Content Examples and Double-Content Examples on Arithmetic Operation Rules

QU Ke-jia1, 2, ZHANG Qi1, 2

(1. College of Psychology, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China; 2. Collaborative Innovation Center for Healthy Personality Assessment and Training of Children and Adolescents, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China)

In order to compare the learning effects of “example type” (single-content examples vs. double-content examples) on arithmetic operation rules, a single-factor design was used in three experiments. Totally, 180 children in grades 1-3 participated in the study and learned single-content and double-content examples on multiplication, four fundamental admixture operations and arithmetic mean rules. Results showed that effects of single-content examples on learning calculation problems of the rules of multiplication, four fundamental admixture operations and arithmetic mean were obviously better than the effects of double-content examples; however, effects of double-content examples on learning word problems of arithmetic mean was obviously better than the effects of single-content examples.

elementary school students; worked-examples learning; operation rules; single-content examples; double-content examples

2019–01–06

教育部人文社會科學研究青年基金項目——雙內容樣例的學習效果及促進研究（15YJC190017）；遼寧省教育廳人文社會科學基地研究項目——雙內容樣例在小學數學學習中的效果及促進研究（W201683602）

曲可佳（1980—），女，黑龍江阿城人，副教授，碩士生導師，主要從事學習與教學心理學研究．

G623.5

A

1004–9894（2019）02–0041–05

曲可佳，張奇．算術運算規則單雙內容樣例學習效果的比較[J]．數學教育學報，2019，28（2）：41-45．

[責任編校：張楠、陳漢君]