問題表征對數學閱讀能力的影響研究

楊紅萍，肖志娟

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問題表征對數學閱讀能力的影響研究

楊紅萍1，2，肖志娟3

（1．山西師范大學 教師教育學院，山西 臨汾 041000； 2．山西基礎教育質量提升協同創新中心，山西 臨汾 041000；3．陽泉市第十二中學校，山西 陽泉 045000）

數學閱讀是數學學習的一項重要技能，探討影響數學閱讀的因素對指導數學閱讀教學具有重要意義．問題表征是個體在閱讀過程中將外部信息轉化為內部信息，并結合自己的認知結構形成完整的問題空間．研究表明：個體的問題表征能力與數學閱讀成績之間有密切聯系；不同問題表征能力學生的數學閱讀水平存在顯著性差異，問題表征水平越高，其數學閱讀能力越好；不同數學閱讀能力學生的問題表征能力存在顯著性差異，數學閱讀水平越高，其問題表征能力也越好．

問題表征；數學閱讀；相關性

1 問題提出

閱讀是人類社會生活的一項重要活動，是人類汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑．數學學習離不開閱讀，閱讀是數學學習的一項基本技能．目前，國內外學者從數學閱讀的內涵、數學閱讀的影響因素、數學閱讀能力、數學閱讀方法以及數學閱讀教學等幾個方面進行了初步研究．貝爾認為數學閱讀和一般閱讀大不相同．數學閱讀要求讀者必須了解每個數學術語和符號的精確含義[1]．邵光華認為，數學閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含數學語言（文字、符號、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素[2]．胡理華認為數學閱讀能力分為認讀水平、概述水平、辨析水平、串聯水平、領悟水平、研究水平[3]．喻平提出數學能力結構的3個層面：元認知能力、共通任務的能力和特定任務的能力，而數學閱讀能力是指閱讀、領會和理解數學材料的能力，屬共通任務能力成分之一[4]．辛自強認為學生對數學文本的理解至少發生在如下4個層次上：理解詞匯和符號、詞匯和符號之間的互譯問題、在“篇章”水平或者整體水平上理解數學問題、建構合適的問題模型[5]．?sterholm認為有符號數學材料的閱讀過程是一種特殊的理解過程，需要特殊的讀寫能力．閱讀不同類型的數學材料需要不同的技能[6]．秦麓花指出數學閱讀強調數學文本如何說明概念[7]．楊紅萍指出數學閱讀是從數學文本中獲取意義的、積極的認知心理過程，而要獲取意義，需要對字符（文字、符號與圖形的總稱）進行正確編碼，對文字、符號、圖形3種語言進行正確轉譯，并且能夠對文本進行綜合理解[8]．項目組從2008年起，一直致力于對數學閱讀深入系統的研究[9-16]，先后對數學閱讀障礙、數學語言對閱讀的影響、個體CPFS結構和自我監控對數學閱讀的影響、數學閱讀教學敘事研究等進行了研究．問題表征與數學閱讀的相關研究不曾涉及．

問題表征是個體在閱讀過程中將外部信息轉化為內部信息，明確問題給定的條件、目標和允許的操作，結合自己的認知結構形成完整的問題空間[17]，是問題解決者對具體的問題信息進行感知提取、理解內化、轉換表達的認知過程．具體表現如下．（1）通過閱讀題目了解已知信息與目標狀態．（2）通過聯想，激活與問題信息相關的知識經驗，其中涉及對相關數學符號、概念、命題等的理解、識別問題類型，以及概括能力和推理能力．（3）在理解的基礎上將問題信息進行轉換，構建出自己的問題空間，最后選擇恰當的方式將其呈現出來．

對問題信息意義的獲取必定要經過信息轉換．如果對已知信息、目標狀態以及需要進行的操作模糊不清，那么就無法對問題進行正確轉換．事實上，有不少閱讀困難就是源于對問題的不理解，不能將外部信息轉換成內部信息，進而不能形成完整的問題空間，在閱讀過程中就會出現障礙．

據此提出研究假設——問題表征是影響數學閱讀的重要因素．

2 研究過程

2.1 材料

2.1.1 “數學閱讀能力測試卷”的編制

在參考其他學者問卷設計的基礎上[18-22]，自行編制“數學閱讀能力測試卷”．首先，通過理論分析初步擬定數學閱讀能力結構成分有13種：詞義獲得、數感、符號意識、信息篩選、語言互譯、空間想象、抽象能力、邏輯推理、合情推理、模型識別、閱讀遷移、數學交流能力、閱讀元認知．

根據擬定的13種數學閱讀能力成分，編制“數學閱讀能力結構因素調查問卷”，分別對高校數學課程與教學論教師和一線不同學段的數學教師進行測試，以獲得更加完善、準確的成分．問卷采用Likert量表5點記分，要求被試對每一個問題根據自己的理解，選擇成分與數學閱讀能力的接近程度，數字“5”代表非常接近，數字“1”代表非常不接近．同時，問卷最后設置開放性問題：“除以上因素外，您認為還需要補充的是？”以得到數學閱讀能力結構假設成分的補充性意見．

于2017年8月10日通過問卷星平臺進行網上調查，樣本來自山西、廣西、江蘇、廣東等地高校教師以及不同學段的一線教師．截至2017年9月26日下午6時，共回收問卷139份，其中高校教師38份，一線教師101份．測試結果的數據分析如下．

（1）描述性數據分析，結果見表1．

表1 數學閱讀能力結構因素描述統計

注：1到13表示數學閱讀能力結構的13種成分．

從統計的基本結果可以看出，每一道題高校教師和一線教師選擇4分和5分累加起來比例都達到70%以上，說明他們對問卷中所提出數學閱讀能力成分具有較高的認可程度．

（2）對量表進行信度分析，計算可靠性統計量Cronbach系數，得出問卷整體信度系數為0.907，說明此量表具有很高的可靠性，因此本問卷所設置量表的內容可信度較高．

調查結果顯示，被試對13個假設成分普遍比較認同．在提出的13種數學閱讀能力成分之外，還補充了概括能力、信息整合能力．

而抽象和概括是緊密聯系的，抽象是概括的基礎，沒有抽象就不可能認識數學對象的本質屬性，就無法概括．概括是抽象的目的，沒有概括，抽象也就失去了意義，概括不僅以抽象為基礎，還是抽象的發展，通過概括，能夠使抽象達到更高的層次[23]．因此，把“抽象能力”和“概括能力”合并為“抽象概括能力”．

通過理論分析，結合調查結果，對數學閱讀能力的成分假設進行適當調整，對意義重復的成分合并整理，最終確定10個成分，這10個成分的名稱及含義見表2．

依據以上10個成分假設，從歷年中、高考題中，選擇適合高三學生的題目，篩選整合，編制“數學閱讀能力測試卷”，1，2……10分別對應以上10個成分假設，每一個成分設計成一個分測驗，包含測試該成分的2~3題．測驗卷共包括22題（小題），每一題重點測學生數學閱讀的某一成分．從臨汾市的一所重點中學和普通中學各選取一個高三理科班進行預測．得到測驗卷分半信度0.801，表明問卷具有良好的信度．各題項與總分之間均在0.01水平上存在顯著性相關，表明各亞維度都對總分做出貢獻．

表2 數學閱讀能力結構10成分及其具體涵義

數學閱讀能力的因素確定采用“活動—因素分析法”．因素分析法是把一組反映事物性質、狀態、特點等的變量簡化為少數幾個能夠反映出事物內在聯系的、固有的、決定事物本質特征因素的統計分析方法．西方的因素分析法未能解決測驗設計與結果解釋的客觀性問題[24]．蘇聯學者提出了以活動為中心的、研究能力結構的活動分析法．首先對與某能力有關的活動進行分析，據此提出該能力結構模式的假設，然后按照所設想的能力結構因素設計相應的實驗作業，讓能力不同的被試個別完成，并對他們的完成過程進行定性分析，以檢驗原先所設想的能力結構因素是否符合實際，最后確定能力結構[25]．這種方法是直覺的、經驗的，難以保證能力結構的完整性及結構中因素組合的合理性．

為了克服以上兩種研究方法的局限，莫雷綜合了因素分析法和活動分析法的優勢提出“活動—因素分析法”[25]．“活動—因素分析法”認為，能力是在個體的活動中起調節制約作用的，具體地對個體完成各種分測驗的過程作定性的分析研究，便可以揭示調節這些活動的內隱的心理特質．因此，可以將對各因素有高負荷的分測驗內容分別編制成相應的個別作業，讓學生個別完成，對過程作定性分析，揭示其心理機制，據此對因素作出解釋，稱為活動鑒別法．

通過“活動—因素分析法”最后確定高三學生數學閱讀能力的結構為8個因素，分別為概念理解能力、抽象概括能力、閱讀推理能力、語言互譯能力、直觀想象能力、閱讀遷移能力、閱讀元認知能力和信息整合能力．

研究從測試卷中選出與這8個因子相關的題目，形成“數學閱讀能力測試卷”共18題（小題）．題型為不定項選擇題和簡答題，總分共112分，每一因素總分14分．其中1、10①、12①測試概念理解，4①、5②測試抽象概括，5①、11①測試閱讀推理，2、3、13測試語言互譯，7、8測試直觀想象，4②、10②測試閱讀遷移，11②、12②測試閱讀元認知．6、9測試信息整合．整套測驗限定完成的總時間為45分鐘．

2.1.2 “數學問題表征測試卷”的編制

借鑒喻平問題表征的測試題[26]，如下：

已知A、B相距20千米，甲、乙兩個物體分別位于A、B兩點，同時分別向C點和D點作勻速直線運動，=12 km/h，=2，20分鐘后甲、乙分別到達C、D兩點，求C與D之間的距離．（此題為開放性試題．要求：詳細寫出分析思路和解答過程）

選取該數學問題作為測試材料，原因是：

①這一問題可從直線幾何、平面幾何、空間幾何3個層面進行表征．如果表征為直線幾何，即答案有4個，分別為8千米，16千米，24千米，32千米．如果表征為平面幾何或立體幾何，即答案為8≤S≤32（S為CD間的距離），即有無窮多種答案．這樣，通過測試就可以考察學生對問題隱含信息的提取與理解，另外通過學生的不同層面表征，可以更好地判斷學生的問題表征能力水平．

②該問題屬于開放題，難度適中，而且也不受問題熟悉度的影響．

該測試卷總分12分，計分方法如下：

因為問題答案為8≤S≤32，即該答案有無數個，所以采取分情況計分．

① 若被試考慮的是直線幾何，則答對一種情況得1分．

②若被試只畫出平面圖，未討論求得答案，得5分；若被試在空間上只畫出圖，未討論求得答案，得6分；若被試考慮的是平面幾何且經過討論答案也正確，得10分；若被試考慮的是空間幾何且經過討論答案也正確，得12分．

③ 若被試考慮了直線幾何、平面幾何（或空間幾何），那么最后以平面幾何（或空間幾何）結果計分；若被試討論了平面與空間的情形，那么空間正確計12分，否則平面正確計10分．

另外，測試題附有6個問題構成問卷，每題2分．①該題的已知條件有哪些？②你認為該題比較關鍵的信息是什么？③題目中“甲、乙兩個物體”該如何理解？④你是如何確定20分鐘后C、D的位置關系的？⑤當你讀完題目后，是否想到通過畫圖來描述這個問題？⑥如果想到畫圖來描述此問題，那么請將你所畫的圖呈現出來．其中題目①②測試問題信息的提取，題目③④測試問題信息的理解內化，題目⑤⑥測試問題信息的轉換表達．

2.2 程序

“數學問題表征測試卷”和“數學閱讀能力測試卷”均利用學生自習時間進行，在三周內完成測試．正式測試前都進行預測，并在預測的基礎上發現問題進行修正，并最終確定“數學問題表征測試卷”的測試時間為25分鐘，“數學閱讀能力測試卷”的測試時間為45分鐘．測試過程由班主任監督完成．最后，使用SPSS 22.0進行數據統計處理．

選取臨汾市L中學高三年級理科3個班的學生，共131人．兩份測試卷各發放131份，收回有效測試卷各118份．

3 研究結果

3.1 數學問題表征與數學閱讀能力的相關性分析

數學問題表征與數學閱讀能力的相關性分析見表3．數據顯示，問題表征的3個維度——問題信息的提?。?）、問題信息的理解內化（2）和問題信息的轉換表達（3）與數學閱讀能力（）之間存在顯著相關；數學閱讀能力的8個成分（1—8）與問題表征（）之間存在顯著相關；問題信息提取與概念理解（1）存在0.05水平上的顯著相關，與數學閱讀能力的其它成分（除抽象概括2）存在0.01水平上的顯著相關，問題信息理解內化、問題信息轉換表達均與抽象概括存在0.05水平上的顯著正相關，與數學閱讀能力的其它成分存在0.01水平上的顯著相關．

以上數據分析表明，個體數學問題表征能力與數學閱讀能力總成績之間存在顯著相關，各亞維度之間也密切相關．

表3 數學問題表征與數學閱讀能力的相關性分析

注：**表示在0.01水平上顯著相關，*表示在0.05水平上顯著相關．

3.2 不同數學問題表征能力學生的數學閱讀能力水平分析

首先將118名被試按數學問題表征測試成績分為3組：10~12分（38人）為高分組，4~6分（41人）為中分組，4分以下（39人）為低分組．3組被試的平均數學閱讀成績分別為：高分組83分，中分組73分，低分組54分．將數學問題表征能力作為自變量，進行單因素方差分析．結果如表4、表5所示．

表4 不同問題表征組數學閱讀成績的方差分析

表5 不同問題表征組數學閱讀成績多重比較

注：*表示均值差的顯著性水平為0.05．

從表4、表5可以看出，=55.574，=0.000<0.01，所以在=0.01水平上，檢驗達到顯著水平，表明3個問題表征組的數學閱讀平均成績之間有顯著性差異．每兩組之間的數學閱讀成績在0.05水平上存在顯著差異．說明問題表征水平高的被試其數學閱讀水平也高，問題表征水平低的被試其數學閱讀水平也低．

3.3 不同數學閱讀能力學生的數學問題表征水平分析

同樣，將118名被試按照數學閱讀測試成績分為3組：83分以上（37人）為高分組，62~83分（45人）為中分組，62分以下（36人）為低分組．求出被試的問題表征測試成績平均分：高分組8分，中分組6分，低分組3分．以數學問題表征成績為因變量進行單因素方差分析，結果如表6、表7所示．

由表6、表7可知，=44.875，=0.000<0.01，說明數學閱讀水平高分組、中分組和低分組的問題表征成績在0.01水平存在顯著差異．每兩組之間的數學問題表征成績在0.05水平上存在顯著差異．說明數學閱讀水平高的被試其問題表征水平也高，數學閱讀水平低的被試其問題表征水平也低．

表6 不同數學閱讀能力組問題表征成績的方差分析

表7 不同數學閱讀能力組問題表征成績多重比較

注：*表示均值差的顯著性水平為0.05．

3.4 問題表征對數學閱讀能力的回歸分析

數學問題表征與數學閱讀能力的散點圖如圖1所示，可以得出結論：數學問題表征與數學閱讀線性相關．表8、表9、表10是數學問題表征對數學閱讀能力的回歸分析．

由表8模型匯總得知，=0.875，經過調整后2為0.766，表明因變量的變化76.6%是由自變量引起的，即數學問題表征水平能較好地反映數學閱讀水平．

由表9得=0.000<0.01，回歸方程高度顯著，即建立的回歸方程有意義．由表10可知常數項和“數學問題表征”都是有統計學意義的，由此得出數學問題表征與數學閱讀的回歸方程為數學閱讀=5.597數學問題表征+34.954．

圖1 問題表征與數學閱讀能力的散點圖

表8 模型匯總

注：自變量為數學問題表征．

表9 方差分析

注：自變量為數學問題表征，因變量為數學閱讀．

表10 回歸系數檢驗

注：因變量為數學閱讀．

4 討論

研究表明，問題表征是影響數學閱讀的重要因素．具有優良的問題表征能力的學生，其數學閱讀水平比較高．一個適宜的表征應該滿足3個條件：表征與問題的真實結構相對應；表征中的各個問題成分被適當地結合在一起；表征結合了問題解決者的其它知識[27]．在閱讀過程中，問題表征能力高的學生，能夠將外部信息轉化為內部信息，能夠挖掘題目中的隱含條件，并與認知結構聯系起來，迅速構建已知與未知的橋梁，達到對問題的準確理解．相反，問題表征能力弱的學生，不能正確識別問題類型，難以對信息進行正確轉換，最后表現為理解失?。?/p>

數學閱讀能力高的學生問題表征水平也高．數學閱讀是從數學文本中獲取意義的、積極的認知心理過程，需要對文字、符號與圖形進行正確編碼和轉譯，并且能夠對文本進行綜合理解[8]．字符編碼、文字轉譯、綜合理解是對問題正確表征的前提．辛自強認為學生對數學文本的理解至少要理解詞匯和符號，理解詞匯和符號之間的互譯，從“篇章”或者整體水平上理解數學問題，并建構合適的問題模型[5]，這也是完成問題表征的過程．因此，數學閱讀水平高的被試問題表征能力也高．

5 結論

（1）個體的問題表征能力與數學閱讀總成績之間存在顯著相關，各亞維度之間也密切相關；

（2）不同問題表征水平學生的數學閱讀成績在0.01水平上存在顯著差異，問題表征水平越高，數學閱讀成績越好；

（3）不同數學閱讀水平學生的數學問題表征成績在0.01水平上差異顯著，數學閱讀能力越高，問題表征成績越好；

（4）數學問題表征水平能較好地反映數學閱讀水平．

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The Influence of Problem Representation on Mathematics Reading

YANG Hong-ping1, 2, XIAO Zhi-juan3

(1. College of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041000, China; 2. Shanxi Basic Education Quality Promotion Collaborative Innovation Center, Shanxi Linfen 041000, China; 3. No.12 Middle School in Yangquan, Shanxi Yangquan 045000, China)

Mathematics reading was an important skill in mathematics learning. It was important to explore the factors that influence mathematics reading. Problem representation is the transformation of external information into internal information in the process of reading and the formation of a complete problem space based on one’s own cognitive structure. The research showed that there was a close relationship between individual problem representation ability and mathematics reading achievement. There were significant differences in the level of mathematics reading among students with different problem representation ability. There were significant differences in the problem representation ability of students with different mathematics reading ability. The higher the level of mathematics reading, the better the problem representation ability was.

problem representation; mathematics reading; correlation

2019–01–07

教育部人文社科規劃基金項目——數學閱讀能力：結構與發展研究（16YJA880056）；山西基礎教育質量提升協同創新中心規劃項目（XTB1608）；山西省教育科學十二五規劃項目——中小學生數學閱讀能力發展研究（GH-15015）；山西師大“中學數學教學論”優質課程建設項目（2016YZKC-08）；山西師大教改創新項目——交互式教學模式在“中學數學教學論”中的實驗研究（2017JGXM-32）

楊紅萍（1969—），女，副教授，博士，碩導，主要從事數學課程與教學論研究．

G451.6

A

1004–9894（2019）02–0070–05

楊紅萍，肖志娟．問題表征對數學閱讀能力的影響研究[J]．數學教育學報，2019，28（2）：70-74．

[責任編校：張楠、陳雋]