義務教育階段學生數學符號意識分析層次的構建

朱立明

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義務教育階段學生數學符號意識分析層次的構建

朱立明

（唐山師范學院 教育學院，河北 唐山 063000）

數學符號意識作為義務教育的一種數學核心素養，表現為動態的認知過程．從數學符號意識的內涵出發，通過實證研究得出學生數學符號意識具有可測性，并初步從內隱性與外顯性兩個方面構建了學生數學符號意識的4個分析層次，即感知與識別、理解與運算、聯想與推理、抽象與表達，每個分析層次詳細劃分了3個具體操作指標．該分析層次為數學符號意識這一隱形課程目標的測評提供參考．

數學符號意識；義務教育；實證研究；分析層次

1 引言

1.1 研究背景

符號意識寫入了中國《義務教育數學課程標準》（2001年提出符號感），但數學符號意識的培養研究相對滯后．由于教育理念從以知識為本到以人為本的轉變，發展學生的符號意識已成為中小學數學課程的目標，是中國義務教育階段的一種數學核心素養，體現數學學科的邏輯性與學生的認知水平．數學符號意識超越了所要表達的具有象征性的事物，使數學從冗長繁瑣的文字表達束縛下釋放出來，數學在真正意義上成為傳達思想的媒介．作為數學抽象物的一種表現形式，數學符號既是對現實世界數學關系結構的抽象，也是數學學科內部規律的集中體現．因此，發展學生的符號意識已成為中小學數學課程的目標，符號意識也成為中國義務教育階段一種數學核心素養．因此有必要對數學符號意識進行研究．

1.2 研究問題

要培養義務教育階段學生的符號意識，首先，需要弄清楚什么是數學符號意識，這就必須對數學符號意識本身有清晰的認識；其次，需要對教師是否在數學教學活動中有效地培養了學生的符號意識進行合理的價值判斷，即如何對學生數學符號意識進行測評？因此，研究旨在探究與形成數學符號意識分析層次與操作指標，為數學符號意識的測評提供指引．

1.3 研究意義

數學符號是數學知識表達的核心工具，能夠清晰而簡明地表達數學知識、數學規律以及數學思想．數學符號是數學領域對客觀事物本質屬性的思維加工，是通過感官刺激在頭腦中形成的“烙印”，不會隨著客觀事物的消亡而消失．義務教育階段，學生在數學學習中要面臨多種數學符號的考驗，每一個新的符號出現，對于學生都是陌生的．因此，數學符號像一把“雙刃劍”，在使數學教育清晰化的同時也給數學教育帶來困難，主要表現在，數學教育尤其是義務教育階段，如何讓學生能夠更好地感知數學符號化之后所要表達的數學意義．因此，在數學教育中，不僅應該經歷利用數學符號進行運算與推理的過程，還應該明白在運算與推理的背后所蘊含的道理．在這個意義上，數學課程中要求形成學生的數學符號意識．

2 文獻綜述

為了構建數學符號意識的分析層次，在檢索相關期刊論文研究成果的時候，以“2001—2016年”為時間節點，采用“全文”的方式，保證收集到的文獻盡量全面，更多選取核心期刊的雜志，保證所用文獻的權威性．2001—2011年以“符號感”為“全部字段”的方式進行檢索，2011—2016年以“符號意識”為“全部字段”的方式進行檢索．重點分析蘊含數學符號意識維度的相關研究，通過對文獻的收集整理發現，目前關于數學符號意識維度的研究成果主要集中于能力、心理、行為、多重4個取向，詳細觀點如表1所示．能力取向的數學符號意識，在維度劃分的過程中更加關注數學符號意識的能力表現，將學生的符號能力作為數學符號意識的核心內容，較少考慮其它因素．心理取向的數學符號意識，在維度劃分的過程中更加關注數學符號意識心理層面的表現，將學生的數學符號心理傾向作為數學符號意識的核心內容．行為取向的數學符號意識，在維度劃分的過程中更加關注學生的行為表現，將學生對數學符號的處理作為核心內容．多重取向的數學符號意識維度劃分即兼有前面3種取向中兩種以上取向的數學符號意識維度的劃分．

通過對數學符號意識所分維度的關鍵詞進行提煉，主要可以得到如下關鍵詞：認知、鑒賞、預估、選擇、思考、理解、運用、感知、操作、抽象、轉換、直覺、表達、運算、推理、記憶、存儲、提取、發現、反省，如圖1所示．

3 研究方法

3.1 被試選取

選定的專家結構包括高等院校的數學教育理論研究者、中小學教研員以及教學一線的專家型教師．數學教育理論研究者來自東北師范大學、陜西師范大學、首都師范大學、華中師范大學、華南師范大學、西南大學、重慶師范大學等，在數學素養、數學核心素養、數學符號意識等領域都曾有過一定研究．所選的數學教研員與一線數學教師，是來自四川、河南、河北、廣東、天津等地，都是數學名師、小學或是初中名師工作室的主持人，具體結構如表2所示．他們所提的意見與建議具有一定的說服力，對該研究中數學符號意識分析層次的構建具有一定的指導意義．

表1 學生數學符號意識的關鍵詞摘要

圖1 數學符號意識關鍵詞頻率統計

表2 所選教師群體的結構

3.2 研究工具

通過對上述關鍵詞進行分析，有的是表示心理活動傾向的，例如認知、抽象等，有的是表示外顯行為的，例如表達、操作等，并且其中的一些關鍵詞具有程度上的不同．例如，感知、認知、理解、抽象實際上是學生對數學符號的心理活動傾向不斷升高的表現．經過統計發現，思考、直覺、記憶、存儲、提取、反省出現的頻率最低（1.19%），發現（2.38%）、鑒賞（3.57%）、預估（3.57%）出現的頻率較低，將其刪除．頻率最高的是數學符號的理解（16.67%）．初步得到數學符號意識分析層次的關鍵詞包括：選擇、理解、運用、感知、操作、抽象、轉換、表達、運算、推理．并依此制定專家問卷，每個層次劃分具體操作指標，利用Likert五級量表形式進行計分，從“非常不同意”到“非常同意”，依次賦分為1~5，得分越高，表明對數學符號意識分析層次的描述認同度越高．

3.3 專家咨詢

依據分析得出數學符號意識分析層次的10個關鍵詞：選擇、理解、運用、感知、操作、抽象、轉換、表達、運算、推理，然后對專家進行咨詢，例如，您認為不合理的或者需要增減的層次，專家亦可在“修改意見”處填寫自己對數學符號意識分析層次的相關意見或建議．專家咨詢問卷采用兩種方式進行發放，第一種是以電子郵件的形式發送給31位專家（主要是高校數學教育理論研究者），共回收有效問卷28份，回收率為90.3%；第二種是借助秋季國培班，發放問卷103份，專家結構包括高校數學教育理論研究者17人，教研員35人，一線專家型教師51人．回收有效問卷99份，回收率為96.1%．兩次共發放問卷134份，回收有效問卷127份，回收率為94.8%．專家咨詢問卷回收之后，從集中度（即專家對分析層次適合度測評的平均分）、離散度（即專家對分析層次適合度測評的離散程度）、變異系數（即離散度與集中度的比值）3個統計量對專家反饋結果進行分析．

專家群體比較同意關于數學符號意識分析層次的劃分．雖然專家群體大體上認可數學符號意識分析層次的劃分，但是他們也同樣認為，有些分析層次和操作指標需要刪除、修改、整合．S專家認為：“當前數學教育的最大價值應該在于使學生能夠用數學的眼光來看待現實世界，用數學的思維來思考現實世界，用數學的語言來表達現實世界，因此，數學符號的表達是非常關鍵的，表達主要是指書面上的．除此之外，數學符號意識具有雙重性，內隱的心理傾向與外顯的能力表現，如果在層次的設定過程中能夠同時表現出內心活動和外在表現，這樣是比較全面的，在操作指標上也要體現進階性．”Z專家指出：“數學符號的選擇并非是培養數學符號意識的重點所在，從內涵上講數學符號的選擇范圍過于寬泛，與《標準（2011年版）》也不太一致，并且與其它分析層次，例如，數學符號的運用、操作之間的關系不容易界定，數學符號的運用與數學符號的表達、運算、推理存在交叉，數學符號的操作包含了數學符號的運算與推理．”H專家認為：“符號意識不是運算能力也不是推理能力．符號意識應該包括符號的意義、符號的功能和符號的表達交流．其中最核心的是符號的數學意義，即心理圖式．核心是符號概念的二重性．”還有專家也提及數學符號的運算是有內在邏輯的，在某種意義上也是一種推理，建議與數學符號的推理進行合并．

經統計，從集中程度來看，專家們對數學符號意識分析層次適合度選擇的平均分刻畫了專家意見的集中度，各分析層次的平均分為3.176~4.419，其中，數學符號的選擇（3.512）、數學符號的運用（3.334）、數學符號的轉換（3.176）低于3.75（5分量表的75%等級值），其余分析層次均高于3.75．從離散程度看，各數學符號意識分析層次的標準差在0.471~0.764之間，所有分析層次的標準差均小于1，說明專家意見相對比較集中．由于平均值和標準差都是平均指標，有時這二者表示的結果可能不完全一致，這時就需要使用變異系數（標準差與平均值的比值）進行判斷，反映專家對分析層次進行測評的協調程度．由于所有分析層次的變異系數在0.119~0.218之間（數值均較?。?，反映了該研究中所選取的專家群體對于數學符號意識分析層次的測評協調程度較高．

綜合以上專家意見與建議，對數學符號意識分析層次進行修改，保留數學符號的理解、感知、抽象、表達、運算、推理6個關鍵詞，具體修改結果如表3所示．

3.4 探索性因素分析

通過對所得6個關鍵詞加以解讀，再次利用專家問卷調查，并進行主成分分析．在此之前，分別考察值、值和Bartlett球形檢驗判斷，值是判別個別題項是否適合投入因素分析程序中的，與抽取共同因素的個數無關．當某題項的值越接近1，表明該題項越適合投入因素分析的程序中．當值小于0.6時，則題項不適合進行因素分析，應刪除．根據學者Kaiser（1974）的觀點，如果值小于0.5時，不適宜進行因素分析，值越大，Bartlett檢驗的卡方值越顯著，說明數據越適合進行因素分析．一般地，進行主成分分析的準則至少值要在0.6以上[28]．在驗證之后，采用主成分分析法，提取共同因素（特征值大于1），求得初始負荷矩陣，再用最大方差直交轉軸法，求出旋轉因素負荷矩陣．結果顯示，值均大于0.6，值為0.904，Bartlett球形檢驗2值為321.847（=133，=0.00）達到極顯著水平，說明適合做因素分析．

表3 學生數學符號意識分析層次修改意見統計分析

下面進行因素分析，得到碎石圖如圖2所示．從圖中可以看出，第五個因素以后，坡度線變為平坦，表示無特殊因素值的提取，因而保留4個因素較為適宜，這4個因素與設想編制的層次及題項符合．

圖2 學生數學符號意識分析層次第二次主成分分析

將上述提取的4個因素進行命名，共同因素一的構念名為數學符號理解與運算，共同因素二的構念名為數學符號聯想與推理，共同因素三的構念名為數學符號感知與識別，共同因素四的構念名為數學抽象與表達，其因素分析結果統整如表4所示．

采用主成分分析萃取法共抽取4個共同因素，4個因素的特征值分別為3.950、1.681、1.129、1.035，4個因素構念聯合解釋變異量為64.963%，大于60%．第一個因素（理解與運算）最大因素負荷量為0.823，第二個因素（聯想與推理）最大因素負荷量為0.854，第三個因素（感知與識別）最大因素負荷量為0.835，第四個因素（抽象與表達）最大因素負荷量為0.812，因素負荷量情況較好．旋轉后的因素負荷矩陣和累積解釋變異量表明提取的4個因素對整個測評問卷的有效程度較好．

下面考察每個分析層次的操作指標，從表5來看，各操作指標的平均分為3.165~4.371，其中，感知與識別的3個指標以及聯想與推理的兩個指標的得分低于3.75，有專家認為數學符號感知與識別是最低層次，不應該涉及到數學符號的意義和抽象，而聯想與推理的指標描述不夠清晰，根據專家意見對其進行修改．

3.5 驗證性因素分析

利用AMOS 21.0進行一階12因子斜交模型驗證因素分析，得到其結構模型，如圖3所示．模型各項適配主要適配指標如表6所示．從結果可以看出，卡方自由度的比值為1.318<3.000，值等于0.021<0.05，值等于0.032<0.05，指標、、、、、的值在0.932~1.023之間，均大于0.900，基本符合模型適配標準．指標、均大于0.500，值大于200[29]，綜合指標考慮，認為一階12因子模型擬合程度較好．由相關性分析結果顯示，一階因子概念之間存在高度相關性，因此，進行二階驗證因素分析．如表7所示，從表中數據可知，一階12因子二階4因子的模型擬合效果良好，數學符號意識分析層次結構模型的基本適配指標均達到檢驗標準，表示驗證性因素分析模型與實際觀察數據的適配情況良好，這表明通過探索性因素分析得到的4個一級層次和12個操作指標是比較合理的．

表4 第三學段數學符號意識測試卷的建構效度

表5 學生數學符號意識操作指標修改意見統計分析

表6 一階12因子模型擬合指數

表7 一階12因子二階4因子模型擬合指數

3.6 信度與效度

在因素分析確定測評問卷良好的建構效度之后，為了進一步說明測評問卷的可靠性與有效性，下面對測評問卷進行信度檢驗．一般地，一份優良的教育測試至少應該具有0.80以上的信度系數才比較具有使用的教育價值．其中，分測評的信度指標值至少要在0.60以上，低于0.50則表示分測評信度指標欠佳．整個測評問卷最低內部一致性信度系數要在0.70以上，最好能夠高于0.80．學生數學符號意識分析層次Cronbach’s值在0.807~0.828之間，總量表的Cronbach’s值是0.845，如表8所示，均大于0.800，表明量表信度很高．通過信度檢驗，測評問卷的信度指標基本達到了測量學要求，適宜作為測量工具使用．

圖3 數學符號意識分析層次結構模型

表8 學生數學符號意識分析層次信度分析結果（α）

下面考察各分析層次之間的關系，利用相關分析來檢驗各分析層次之間是否存在相關性．如表9所示，從表中可以看出，組內兩兩層次相關達到0.01的顯著性水平，相關系數在0.402~0.738之間，為高程度正相關．4個層次與總量表之間相關系數在0.568~0.880之間，表明各層次與整個問卷一致，達到高程度正相關．

表9 各分析層次間的相關系數矩陣

4 討論與結論

4.1 討論

與以往相關研究相比，存在一致性與差異性．一致性表現在該研究從實證研究出發，得出學生數學符號意識這一隱形的課程目標是可測的，是可以通過問卷測評來了解學生數學符號意識的發展階段，以及各階段所表現的具體特征，并構建了學生數學符號意識的分析層次[6，17]．不同之處主要表現在以下兩個方面：第一，研究對象的拓展．不同于其它只關注某一階段學生數學符號意識的研究[27]，該研究立足于整個義務教育階段，這有利于實現小學與初中之間的銜接．這是因為，小學和初中數學教育在形式上是分開的，課程標準是分段的，但是學生數學符號意識的發展是具有一定連貫性．第二，研究內容的兼并．該研究所構建的4個分析層次同時關注數學符號意識的內隱性與外顯性，前者（感知、理解、聯想、抽象）描述的是學生數學符號意識的心理傾向，后者（識別、運算、推理、表達）描述的是學生符號的能力表現．總之，這里構建的學生數學符號意識分析層次，為學生數學符號意識的培養、發展與測量，以及學生符號思維的形成提供了重要參考．

當然，該研究還存在一些不足之處與后續的研究．第一，義務教育階段學生數學符號意識測試題的編制還有待研究與完善．如何編制一套有效的測評問卷，是評價學生數學符號意識的關鍵．第二，如何對學生進行測試并跟蹤研究也是重點課題，數學符號意識本身具有一定的連貫性，從一~九年級，學生數學符號意識是在不斷發展變化的，如何尋求關鍵節點，從而為教學內容與教學策略的選取提供一定的依據是非常有意義的．

4.2 主要結論

主要通過專家意見咨詢，探索性因素分析與驗證性因素分析，結合實證研究構建數學符號意識分析層次．

第一，義務教育階段學生數學符號意識具有可測性，包含了內隱性與外顯性兩個方面．內隱性主要反映學生數學符號意識的內心傾向（感知、理解、聯想、抽象），外顯性主要反映學生數學符號意識的外在表現（識別、運算、推理、表達）．

第二，義務教育階段學生數學符號意識由從低到高4個分析層次構成，分別是數學符號的感知與識別、數學符號的理解與運算、數學符號的聯想與推理、數學符號的抽象與表達．

第三，在義務教育階段學生數學符號意識4個分析層次之下包括12個操作指標，每個分析層次包含3個具有指導性的操作指標，具體如表10所示．

表10 義務教育階段學生數學符號意識分析層次

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Construction of Students’ Analysis Level of Consciousness of Mathematical Symbols in Compulsory Education

ZHU Li-ming

(Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China)

Consciousness of mathematical symbols, one of the key competences in compulsory education, was show as the dynamic cognitive process. Start from the connotation of the consciousness of mathematical symbols, we could see that the consciousness was measurable through empirical study, and this study preliminarily forms 4 analysis levels of students’ consciousness of mathematical symbols extrinsically and intrinsically, namely, perception and recognition, understanding and operation, association and reasoning, abstractness and expression, each of which was divided into 3 specific operating indicators. This analysis level provided a reference to objective evaluation for consciousness of mathematical symbols, the hidden curriculum goal.

consciousness of mathematical symbols; compulsory education; the empirical research; analysis level

2019–01–10

河北省社會科學發展研究課題一般項目——義務教育學生數學核心素養體系構建與培養研究（2018030401142）；河北省高等學校人文社會科學研究項目——數學新手型教師關鍵能力生成機制的跟蹤研究（SZ18058）；河北省教育廳人文社會科學重點項目——河北省小學生課業負擔測評模型構建與應用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，講師，博士，主要從事課程與教學論研究．

G420

A

1004–9894（2019）02–0081–06

朱立明．義務教育階段學生數學符號意識分析層次的構建[J]．數學教育學報，2019，28（2）：81-86．

[責任編校：周學智、陳漢君]