高中數學教材“組合問題”的編排

唐佳麗，徐章韜

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高中數學教材“組合問題”的編排

唐佳麗1，徐章韜2

（1．石門實驗學校，廣東 佛山 528248；2．華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079）

以“編排分布、素材選擇、呈現方式、編寫模式”為分析框架，研究人教版高中數學中的組合問題．整體上，編排特點是隱性和顯性貫串、組塊和分散結合；素材的選擇多是社會經驗和學科知識；呈現方式符合數學本身的要求和高中生的身心發展特點，旨在發展學生的數學思維；教材編寫模式單一．可通過挖掘傳統知識間的組合思想和用組合豐富傳統內容的內涵兩種途徑，促進組合問題和傳統內容的相輔相成．

組合問題；組合思想；教材編寫

1 引言

教材在日常教學實踐中的地位舉足輕重，它是學生學習的最直接素材，它的質量對教學質量的影響顯著．故有大量研究者從不同角度對中國現行數學教材進行分析比較，為課程改革助力．有研究者從數學史的角度對不同版本教材進行對比研究[1]，也有對高中教材中數學史的分布[2]、應用現狀[3]進行統計研究；有研究者對新教材的編寫風格[4]、數學觀[5]進行剖析；有研究者對高中數學教材中的“閱讀材料”的價值進行分析和挖掘[6]；有研究者從特定、具體的內容出發，指出教材編寫中存在的問題[7]，提出教材編寫和教法的建議[8]；有大量研究者對高中數學教材中的內容進行國際對比，如，高中數學教材中的核心數學內容[9]、比和比例[10]、微積分內容[11]、教材習題比較[12]、例題難度[13]、教材難易程度比較[14]等；更有研究者分析國際教材研究和發展的趨勢[15]，提出今后教材研究的要求．

組合問題研究離散對象的排布、配置、選取、組織結合，它是迅猛發展的計算機科學的基礎之一，蘊含著豐富的數學思想方法，凡是涉及到多種可能性的地方，就會有組合，在數學中分布甚廣，在生活中應用也廣泛．但在實際教學中，師生普遍反映組合問題難教、難學，所以理應對組合問題在教材中的呈現有更優的統籌規劃，有更深入的討論分析．目前已有研究對小學組合內容的編排進行了分析[16]，有研究探究影響高中生學習組合的因素[17]，但對高中數學教材中組合問題的編排關注還不夠，研究還較少．故這里采用文本分析法，對人教版高中數學教科書A版的組合問題進行定量統計和定性分析，探討教材中組合問題的材料選擇和分布特點，以更好地培養學生思維的全面性和條理性，發展學生的數學素養．

特別指出，這里研究的“組合問題”是范圍較廣的組合問題，是教材中所有含有“組合思想”的問題，即具有組合特征的內容，包括所有存在多種可能的內容，如，存在多種不同方式（對稱方式、切割方式等）、不同關系（“或”“且”關系、“交”“并”關系等）、不同排列（向量或圖形的組合排列、公理的排列等）；也包括運用有組合特征的方法、技巧、原則去處理各種問題的思維方式和習慣，比如，將連續的事物離散化，將離散的對象排列、組合、分類與歸納、關聯與構造、發現包容與排斤、遞推關系，等等[18]．其中的例子不勝枚舉，如，在實際教學、實際生活以及教育研究中，將連續的屬性測量值人為劃分為幾個區間（可能還存在多種不同的劃分方式），進行不同賦值或形成不同等級，再根據需要進行分類、歸納等，這已成為一種生活和研究的智慧，可見組合之思想樸實、深刻．

2 研究設計

明確研究問題后，依據研究和研究問題的特征，研究方法和分析框架便可隨之逐步確定．

2.1 研究對象

根據現行人教版教材的使用情況，選取現行高中人教社數學A版必修1-5，及選修1系列（選修1-1、1-2）和選修2系列（選修2-1、2-2、2-3）作為研究對象．

2.2 研究方法

通過對知網的文獻檢索，與高中“組合問題”的教材編排相關的研究幾乎沒有．為了彌補這個空白，采用文本分析的方法，對高中教材中的“組合問題”的編排進行研究．所謂文本分析，它是一種收集資料的方式，類屬于實物分析，主要特點是為研究提供物質依據，揭示制作者和使用者的動機和意圖[19]．

故應根據研究問題和考究內容對高中數學教材文本進行查閱、鑒別歸類、整理、統計分析，結合定量的統計和定性的描述，由表及里，對高中教材中的“組合問題”的編排進行研究，達到促學、促教之目的．

2.3 分析框架

按“編排分布、素材選擇、呈現方式、編寫模式”為分析框架，從整體上把握，從細節處分析，從風格上體現高中教材對組合問題的編排．

2.3.1 編排分布

對高中人教社數學A版必修1-5，及選修1系列和選修2系列的組合內容做了相關統計，依據對組合內容的理解以及在書中的呈現方式，將高中教材中的組合內容分為顯性的組合內容和隱性的組合內容．其中，顯性的組合內容是指在教材中的組合知識是圍繞某一個組合內容以較明顯的方式呈現，其教學目的就是使學生掌握相關的組合知識．如，排列組合、加法原理、數學歸納法、古典概型（雖是概率模型，但里面只包含離散型隨機變量的多種組合，具有的組合特征十分明顯）等．而隱性的組合內容由呈現方式、呈現位置決定，包括其它非顯性組合知識中隱含的組合思想、教材中教授其它知識的組合素材、教材的補充材料——“閱讀與思考”“探究與發現”等．比如說，大量的求隨機事件的概率中所蘊含的組合知識，以及象限角的分類，教授反證法時選擇的例題為染色問題、出現在“探究與發現”中的“楊輝三角”等，均可看成隱性的組合內容．隱性的組合內容的組合特征有的較為隱蔽，無法一一描述，故在統計內容后做簡要說明，統計結果見表1．

對教材中主要的組合內容按照其所屬組合領域進行劃分，可分為7類，具體見表2．

表1 教材中組合內容編排分布

表2 教材主要組合內容的領域統計

據統計結果顯示，組合內容在高中的編排主要有以下兩個特點．其一，顯性教授，隱性滲透．通過對顯性的組合問題的學習，如，通過加法原理、乘法原理、二項式定理、集合的構造與運算學習組合排列、分類和計數，通過等差、等比數列學習遞推關系，通過歐拉公式學習圖論的方法等，使學生在具體的知識當中把握組合問題，掌握思想方法，達到對組合問題的深度理解．而對于隱性的組合知識，則采用的是細微之處的細節處理，使隱性的組合內容“藏”在其它知識點之下，以拓寬組合問題的廣度為主，增加組合問題的內涵以及外延．如，教授合情推理時所選用的素材為河內塔問題，向量的加法交換律和分配律的證明為兩點之間不同路徑的選擇，一個方程的多個解之間的“或”關系，以及方程組的解中未知數取值的“且”關系等，這些知識雖然不是以直接的組合知識呈現在書中，卻蘊含著豐富的組合思想方法，旨在借助傳統內容進行組合的“滲透”．

其二，組塊編排，分散編排．高中生的心理水平已經較為接近成人，認知的品質和意志品質較高，組塊編排以直線式為主，符合高中生的身心特點和認知水平．故教材選修2-3集中編排了大量的組合問題，通過專項訓練和應用加深理科生對組合問題的理解，選修1-2則以隱性的組合內容進行編排，選擇了大量的組合素材，促進文科生吸收組合思想．分散編排是指組合問題散布在數學教材中的各個角落，或成為某一章的學習內容，或成為某一節課的學習內容，或搭配其它內容一起學習，一種思想方法在不同教材和章節多次出現，以螺旋式為主．這種組塊編排和分散編排讓直線式和螺旋式的組織方式相結合，共同推進學生的學習．

除此以外還可以發現，教材的“閱讀與思考”“探究與發現”中蘊含了豐富的隱性的組合內容，這些內容可以拓展學生的數學視野，更大程度上體會到“好玩”、有趣的數學，激發學生學習數學的積極主動性．這也就表明，教師在平時的授課中應該注意使用教材中的材料信息，充分挖掘材料的內涵和教育價值，最大限度地發揮教材的育人功能．

2.3.2 素材選取

隱性的組合內容的素材選擇，集中于借助其它數學知識滲透組合思想，可將大多數隱性的組合內容的素材看成數學知識，不予以具體統計．下面對顯性的組合內容按所在教材統計例題素材，可以將例題素材分成社會經驗和學科知識兩個類別，其中社會經驗是指與生活緊密相連的現實問題，數學知識則指單純的數學問題，統計及整理結果見表3、圖1．

表3 教材中顯性組合內容例題分類統計

圖1 組合問題素材選取分布

高中階段是由經驗型抽象思維向理論型抽象思維的過渡階段，教材的素材選擇應主要以促進學生進行數學思維為主，讓思維活動成為數學探究的主要活動．由圖1可以看出，社會經驗的素材比數學知識的素材稍多一點，總和差異不明顯，但在各本教材中的分布呈現了“一邊倒”的傾向，這跟知識的內容有關．等差數列、等比數列以及數學歸納法本身就是單純研究數學的知識，例題的選擇直接從數學出發，多數沒有實際背景，重在體會數學的科學價值；而排列組合、計數原理、古典概型等方面的內容多與生活息息相關，借助一定的社會生活經驗能更好地促進學生思考，意在拉近數學與生活的距離，體會數學的應用價值．

2.3.3 呈現方式

高中數學的教材編排以激發學生進行數學思維為主要目標，其呈現方式主要包括文字和圖表．思考、探究、例題的呈現都是文字，因文章“素材選擇”部分統計了例題，這里對文字的統計只涉及思考、探究．其它呈現方式包含文字圖片、圖、表，其中，文字圖片分為兩類，一是帶問號的文字圖片，一般用于提問；二是其它類別的文字圖片，多用于標注和解釋．圖也分為兩類，一類是物圖，即配合情境出現的事物圖和人物圖；另一類是數學圖，主要是只與數學有關的圖，如維恩圖、算法程序框圖等．圖文并茂的呈現目的是增強學生的視覺投入，促進學生對數學的理解，提高學習效率．表格有清晰明了的特點，高效地整理數學信息，高效地解題．對顯性的組合內容的呈現其結果見表4、圖2．

表4 組合問題呈現方式分布

圖2 組合問題呈現方式分布

從整體的頁面版式來看，排版總體上簡單樸素，平均每頁1~2個例題．圖的顏色也比較柔和地搭配在例題旁，其它部分多是白色，這種樸實的呈現給人平靜的思考空間，不過多地分散學生注意力．從畫面的呈現方式來看，思考和探究用不同顏色進行了文本框的填充，以吸引學生的注意，使學生快速地抓住問題思考的關鍵所在，有效地進行探究．

從內容上來看，教材中的思考主要針對某一個具體問題進行提問，探究則是對一類問題進行深究，教材對一類問題的研究提示在數量上要多于對單一問題的研究提示．探究、問號的文字圖片、其它文字圖片占總體的比例較大，說明在組合問題編排上，教科書較注重對知識的發問、解釋、以及對具體問題的進一步抽象．純文字和圖的使用與年級沒有明顯的因果關系，但是文字圖片的數目逐漸在升高，這與所學知識的復雜程度有關，隨著所學知識的復雜程度的升高，學生所學的知識逐步走向精微化，思考的問題會越來越多，需要注意的地方也會越來越多，教材這樣處理符合知識本身的要求．

2.3.4 編寫模式

依據對組合內容的顯性和隱性劃分，隱性的組合內容多分散在教材的各個部分，需要教師在平時的知識傳授中滲透組合思想．現以選修2-3第一章第一節“分類加法計數原理與分步乘法計數原理”為例，對顯性的組合內容的編寫進行分析．

此節的編排共4個思考題、4個探究題和9個例題．

由思考題“用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？”引出教學．教材先是對問題進行了解答，且沒有止步于此，進而引導學生從解決問題中跳出來，對問題本身的特征進行探究，也體現出站在比解決問題更高的高度審視問題本身，是數學解題教學和數學抽象中關鍵的一步．在探究出問題的最主要特征——“或”之后，緊接著用外延的角度闡述了不同方案的意思，并用含問號的文字圖片提出問題：你能舉一些生活中類似的例子嗎？顯然，這是知識進行推廣的前提．而后，教材就給出了解決這類含“或”問題的一般解法，提出了分類加法計數原理，并用文字圖片從內涵的角度給出了“兩類不同方案”的注解，配合前一段外延角度的例子，多方位幫助學生理解不同方案的意思．形成對知識的理解之后，教材接著編排例題加深對知識的理解，旨在使學生在理解的基礎上進行知識的鞏固和應用，完善認知結構．例題1的難度較小，信息以圖表的形式給出，這也暗示解決組合問題存在的多種手段和方法，其中列表法也是常見的解決組合問題的策略．接下來的探究提出3類不同方案該如何計數，以及類不同方案該如何計數的問題，且沒有給出答案．這是兩類不同方案計數的深化，復雜程度更高，重在引導學生積極思考，促進知識的遷移．

“乘法計數原理”的編排和“加法計數原理”的編排十分類似，故不贅述．呈現知識后，用例題2進行鞏固、探究、引申，提出3個步驟以及個步驟計數問題．例3是這兩類問題的組合，較例1（只涉及分類）和例2（只涉及分步）多了區分的工作，目的是考察學生對這兩種計數方法的辨別和應用．例4、例5、例6、例7、例8、例9均是加法和乘法計數原理的應用，其中例4涉及加法原理，例6、例7涉及乘法原理，例5、例8、例9是這兩種計數原理的綜合應用，例題的難度和復雜程度在逐步提高．最后通過兩個思考題啟發學生對計數原理的進一步思考．第一個思考題引出分類時要“不重不漏”，分步時要“步驟完整”；第二個思考題更是引導學生思考這兩種計數原理的關系，建立知識與知識之間的關聯．

這節課的編寫從總體布局來看，內容的引出多數由思考題出發，由思考題創設一個問題情境，再一般化探索，經研究得到一般化規律，接著進行鞏固、深化，大致按照“問題情境—一般化—探求規律—應用和拓展”的模式展開．符合知識學習的步驟規律：知識的理解、知識的鞏固、知識的應用，也體現了由具體到一般的學習規律．而對事物進行分類研究，這也是有理可循的，相同類別的事物才具有某方面的高度一致性，才能更大限度地幫助人們盡快認識世界，理解世界，用簡單的東西解釋更多的事物一直是數學的追求．所以教材呈現了平時生活中常常遇到的這兩類事（分類和分步），并對這兩類事進行研究，抓關鍵特征：“或”“和”，提出解決問題的通法，再啟發思考，使規律更具一般性，規律之間具有關聯性，循序漸進，穩步前行．但值得思考的是，教材的編寫模式是否可以多樣化，如果能依據知識的特點，選擇一些新的模式，如，“楊輝三角”的教材編排可采用文化“繼承”模式[20]，調動學生學習的積極性，提高學習效率．

3 討論分析

通過對“組合問題”的教材編排研究，可以得到以下研究結果．

（1）在內容上，顯性組合內容和隱性組合內容相貫串；在方式上，組塊和分散相結合．

（2）整體上素材集中在社會經驗和學科知識，單一知識素材的選擇較為單一．

（3）呈現方式較為豐富，符合學生的認知水平和知識的特點．

（4）編寫模式按“問題情境—一般化—探求規律—應用和拓展”進行，符合知識的學習過程，但可根據知識特點豐富模式．

之所以研究范圍更廣的“組合問題”，主要目的是加強傳統內容和狹義的“組合問題”的聯系，使傳統內容間的隱性組合內容成為教授一般意義的“組合問題”的一個突破口．如果教師在傳統內容的教授中已經潛移默化地將組合思想滲透給學生，待后面學習排列組合時又有何懼？根據研究分析，教學需要注重以下幾個方面．

組合內容的編排和教學要與傳統內容相輔相成．組合問題在高中階段正式進入教材，除了大量組合內容的組塊編排外，還有很多組合內容是融入到傳統內容之中的，它們的編排和教學可以相得益彰．如，空間中直線與平面的位置關系就蘊含了組合思想，根據線、面交點的個數可以將線、面的位置關系分為直線在平面內，直線與平面相交，直線與平面平行．這種分類總結的方法在高中的許多內容中都適用，對學生建立完善的認知結構作用斐然．再如，古典概型和離散型隨機事件的概率是中學概率統計的重要內容，這些內容不是純粹的組合知識，但里面的組合特征十分明顯，而要想成功解決這類型的題目，就必須掌握排列組合的內容，這里的組合內容是為概率等內容服務的．組合問題和傳統內容可以相互融合，相互促進．既然組合問題可以和傳統內容發生關聯，那值得思考的問題是，如何加強組合內容和傳統數學的關聯使之相倚為強，下面提供了兩個思路供參考．

用組合的視角豐富傳統內容的內涵．組合問題和傳統內容之間的關系，不僅僅在于用傳統知識之間的組合特征滲透組合思想，還在于，從組合的角度分析傳統內容，可以增加傳統內容的內涵．如，在解決幾何問題上平易簡捷的向量“回路法”，從理論上分析，“回路法”可看作是歐拉圖的一種運用，進一步與圖論中的有向圖產生了對應；在應用中考慮，選擇適當的向量“回路”解決問題，不正是從多種可能中選擇較優的組合路徑嗎．故，用圖論的觀點刻畫向量“回路法”，借之以工具解決高中階段的幾何問題，建立與幾何的關聯，既豐富了傳統知識的內涵，又表明數學知識間的相互貫通，不論是對數學本身，還是對學生而言，都是大有裨益的．

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Arrangement of Combination Problems in the High School Mathematics Textbook

TANG Jia-li1, XU Zhang-tao2

(1. Shimen Experimental School, Guangdong Foshan 528248, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Based on the analysis framework of “arrangement distribution, material selection, presentation mode and writing mode”, this paper analyzed the arrangement of combination problems in the high school mathematics. Overall, the choreography was characterized by combining implicit arrangement with explicit arrangement, chunk arrangement with scattered arrangement; The selection of materials included two parts: social experience and mathematical discipline; The presentation was in accordance with the mathematical requirement and the physical and mental development characteristics of high school students, aiming at developing students’ mathematical thinking; The textbook was written in a single mode. By mining the combination of thought in traditional knowledge and enriching the intension of traditional content, the combination problems and the traditional content were mutually reinforcing.

combination problems; combination of thought; arrangement of textbooks

2019–01–23

唐佳麗（1995—），女，湖南邵陽人，碩士，主要從事數學的教與學研究．徐章韜為本文通訊作者．

G632

A

1004–9894（2019）02–0046–06

唐佳麗，徐章韜．高中數學教材“組合問題”的編排[J]．數學教育學報，2019，28（2）：46-51．

[責任編校：周學智、張楠]