數學優秀生教育教學的實踐探索

朱勝強

?

數學優秀生教育教學的實踐探索

朱勝強

（南京外國語學校，江蘇 南京 210008）

英才的培養關系到國家未來的核心競爭力．高中階段是英才培養的關鍵時期，中國高中階段數學英才教育現狀令人擔憂．名校理科試驗班匯聚了同齡人中的數學優秀生，對這些學生的培養試驗班的數學任課教師責無旁貸．在教育、教學實踐中，可通過拓展深化教學內容，開展探究性教學，設計有針對性的作業，組建課外研究小組及發揮校內外資源的作用等措施來提高培養效果．

數學英才；數學優秀生；培養；教育教學；實踐

目前中國高等教育已發展到大眾教育的歷史階段，每年高校都為社會各行各業輸送大量人才．但錢學森之問“為什么我們的學?？偸桥囵B不出杰出的人才？”卻總是縈繞在教育工作者的心頭．在追求教育大眾化、普及化的同時，世界各國都重視英才教育．很多發達國家將英才教育提升到關系國家發展、民族安危和提高國家核心競爭力的高度[1]．《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》明確指出：“推進培養模式多樣化，滿足不同潛質學生的發展需要．探索發現和培養創新人才的途徑．”拔尖人才的培養，如果從大學開始已經太晚了．一個人對某個專業領域的興趣與創新意識，應該從青少年時代開始培養，高中階段是人生觀、世界觀、價值觀形成的重要時期，因而也是英才培養的關鍵期[2]．

1 數學英才教育的現狀

英才教育中數學是不可忽視的一門學科．數學英才生的教育是一種特殊教育，對他們的培養需要特殊的課程和培養環境[3]．雖然中國有重視英才教育的傳統，但當前高中階段實施數學英才教育卻有著令人擔憂的現狀．第一，激烈的高考競爭導致了英才教育的“異化”．老師們都知道自己的學生基礎知識的底子沒打牢，卻不得不在高二早早結束課程，用整整一年的時間反復給學生操練解題，學生甚至可以在幾秒鐘內給選擇題畫勾，否則大量的高考題目根本就不可能在短短的兩小時內做完．第二，數學競賽越來越多的功利性使英才教育偏離了初衷．在國際奧數中，中國的金牌數、獎牌數總是領先，可是得金牌的孩子大部分不選擇數學作為他們的職業，即便選擇了數學，也沒有成為優秀的數學家．第三，過度統一的標準和教材使英才教育難以實現．中國的課程標準是法律，各個學校必須執行．這就使得標準的制定非常困難，是就高，就低，還是取中？在精英教育階段這事好辦，而大眾教育階段真可謂眾口難調了[4]．反觀世界數學強國，無論是美國、法國還是俄羅斯，針對英才教育的數學課程，在范圍與難度上都遠超中國課程標準的要求[5]．

盡管如此，數學英才教育方面的探索并未停止．許多教育研究單位與學校都在尋找數學英才教育的可行辦法．比如，設立特殊班級．一種不縮短學制，組建在課程實施進度、深度和廣度方面都區別于其他班級的特殊班級，這是英才教育的常見形式．還有就是實施培養項目．21世紀以來，北京、上海等地創辦并實施了一些培養人才的項目計劃，打破中學內部獨立培養英才的局限，充分利用高校及科研院所的資源培養數學英才；開設豐富多彩的選修課，實施有助于英才教育的校本課程．為了讓不同的學生學習不同的數學，一些中學已經開始探索建構新的數學課程體系[6]．有的甚至還嘗試打通小學高年級、初中、高中，組建中學超常兒童教育實驗班[7]．

依據國外對英才界定的經驗，英才在同齡人中約占3%~5%[4-5]．在中國，對于一些擁有優質生源的高中學校，這一比例還應大幅度提高．從網上獲取的數據可以發現，某省轄市2017年參加中考的考生約四萬七千人，該市排在前兩位的中學中考錄取分數線均不低于640分，對應的這部分學生占中考總人數的3.05%．所以，名校理科試驗班的學生幾乎都可作為英才培養對象．由于試驗班的選拔未必嚴格按數學英才標準進行，但他們中絕大部分人的數學表現會十分突出，所以將這些學生稱為數學優秀生．

發現和保護一個天才很難，扼殺他們卻很容易[8]．對于這些數學優秀生的培養，依靠僅有的英才培養項目計劃與少數英才教育試驗是無法實現的．理科試驗班的數學教師自然責無旁貸．

2 基本情況介紹

自2004年起，研究者一直任教理科試驗班數學，其中有6年還兼任試驗班班主任．學校為N市直屬學校，全省名校，中考錄取分數線處于全市上游水平．學生在高一被錄取后，便可自主報名，參加理科試驗班的選拔考試．考試內容涵蓋數學、物理、化學，其中數學分數所占比例遠超另外兩門．試驗班共招50人左右，約占年級總人數的12.5%．所招學生大部分在初中即對數學有濃厚的興趣，或參加過初中數學競賽．

試驗班數學第一課堂的課時數與年級其他班一樣，所用教材也與其他班相同，均由上級教學管理部門指定．期中或期末考試，也用同樣的試卷（便于全市或學校統一檢測）．在教學進度上，試驗班快于其他班，在教學內容上，并不要求與其他班一致，每天的課外作業也與其他班不同．單元測驗試驗班均單獨命題，難度更大，范圍更廣．

為了讓學生在數學上有更好的發展，還專門面向試驗班開設了選修課“高中數學提優”，在每學期初由學生自主報名參加．每周上課兩次，每次課兩個小時．教學內容為第一課堂的自然延伸，更多的是教材之外的內容．正常情況下，在高一年級第一學期，幾乎所有試驗班學生都會選數學作為選修課．此后每學期初，都需重新報名，學生可根據自己的情況，或征求任課教師意見后決定是否繼續選修．

3 教育教學的實踐探索

如何針對試驗班的數學優秀生開展數學教育、教學工作，使他們在數學方面的潛能在高中階段能有更好的提升呢？

3.1 教學內容的拓展深化

高中數學教材的編寫，需考慮到普通學生的接受理解能力，在難度上會有所控制．這就未必適合數學優秀生的需求了．Diaz等人認為：課程如果缺少挑戰，數學英才生易感到枯燥無聊，提不起學習興趣，課業成就很有可能不易表現[3]．大量研究表明，導致優秀學生低成就的原因之一就是缺乏有挑戰性的課程[6]．與現行課程標準配套的教材，對于數學優秀生來說，基本不具挑戰性．考慮到教學管理方面的要求及將來可能面對的高考等，教學中另選教材是不切實際的．所以，采取的做法是在使用指定教材過程中，在內容上進行適度拓展深化．

拓展深化的內容有這幾方面參考．其一是中國各個時期不同版本的數學教材．這些教材中的內容都曾是經過專家反復推敲，精心挑選的．有些內容雖然沒有出現在當前課本中，但它們的教學價值不容忽視．其二是《高中數學競賽大綱》．該大綱旨在“對于學有余力并對數學有濃厚興趣的學生”“為他們設置一些選學內容，提供足夠的材料，指導他們閱讀，發展他們的數學才能”[9]．許多數學優秀生都將取得高中數學聯賽好成績作為奮斗目標，高中數學競賽的二試內容雖然有許多超出課程標準，但仍以課程標準為基礎．結合課本內容，由課內向課外自然拓展，逐步深化．其三是中學與高等數學相銜接的內容．數學優秀生數學學習并不局限于高中數學內容，或僅在高考中取得好的數學成績．許多學生會自學一些高等數學．但現行教材與高等數學有許多脫節的地方．比如，數列的極限，函數的極限，復數的三角形式，復數的指數形式，等等．這些內容拓展后，有利于學生自主學習，自我發展提高．除此之外，還可增加一些從長遠角度看，有利于認識數學本質，有利于構建數學內在聯系的內容．經過拓展深化，增強數學知識的完整性和系統性，使學生形成深厚、完整的數學基礎．

此外，還著重介紹4類常見函數：

上述內容的補充，有利于學生在學習函數時盡早建立起一個較完整的框架，有利于在后續學習過程中更系統地看問題．比如，有了一一映射與逆映射，學生可以更好地了解“對應”“映射”“函數”之間的關系．在研究函數與方程時，可以更清楚地理解函數與方程間的區別與聯系．同樣，有了一一映射，有助于建立反函數的概念，進而更深入地了解函數的本質及不同函數之間的聯系．

不同的章節內容在拓展補充時各有不同的側重點，在教學安排時需整體考慮，統籌規劃，以減少隨意性．

3.2 開展探究性教學

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中指出：“在人的心理深處有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，在兒童的精神世界里，這種需要特別強烈．”國內外許多研究也表明，英才學生的學習方式與普通學生明顯不同，主要表現為學習的主動性、探究性、合作性和持久性[1]．

針對數學優秀生開展的教學活動常會隱藏著許多不確定性．有時教師認為學生會有疑惑的地方，他們早已清楚了；有時認真準備好的范例，卻遭學生瞬間“秒殺”；有些問題本想一帶而過，學生卻非要打破沙鍋問到底．要讓學生真正投入課堂思考，教師就要理性應對課堂可能出現的各種意外，而這背后是學生主動性的顯現．實踐表明，探究式教學可使學生學習的主動性得以充分發揮．在以教材為主要線索展開教學時，由于學生對所學內容很快能實現基本了解，因而會提出這樣或那樣的問題．沿著學生提出的想法探索下去，便會發現，原本許多教師想教給學生的東西，他們自己得到了．

比如，在學習雙曲線時，有學生提出問題：初中學習了反比例函數，為什么反比例函數的圖象也叫做雙曲線呢？[11]

問題給出后，教師沒有直接回答，而是引導學生思考、討論，給學生足夠的時間．甚至讓學生按照不同的思路組成一些小組進行研究．最后，學生想出了如下一些解決問題的思路．

（1）用雙曲線的定義說明；

（2）用雙曲線的第二定義說明；

（3）用雙曲線的性質說明；

（4）對反比例函數圖象作旋轉變換說明．

這些僅僅是解決問題的思路，有限的課堂時間是不夠用的．所以，留給學生課外進一步研究．當學生從不同的角度獲得結果后，再選擇適當的時間進行交流．通過這樣的探究活動，既深化了對雙曲線相關知識的認識，又建立了新、舊知識間的聯系，完善了認知結構．同時也促進了學生主動探究、自主獲取知識能力的提升．

進行探究性教學一般需要耗費較多的時間，教師可能會有顧慮．不斷發展的信息技術，為探究活動增添了得力的助手．學生可以用電腦驗證猜想，實施計算，進行數學實驗．一些原本需要花上大量時間的環節，一旦有了信息技術的支持，瞬間即可完成．數學優秀生掌握信息技術的速度也超乎想象，只要他們想用，很快就能達到熟練水準．

雖然數學優秀的學生在數學基礎與理解能力方面會超出普通學生，但認識事物的過程還是一樣的．所以，并不是說在試驗班進行數學教學時，什么東西都得讓學生探究．還應根據教學需要進行選擇，一些有難度的問題，讓學生采用接受式的學習方式，其效果可能更好．也有一些內容，可以選擇好材料，讓學生自學．關鍵在于教師的合理把握．

3.3 設計有針對性的作業

數學作業是數學教學的重要組成部分，是課堂教學的延伸．作業有鞏固、發展、反饋、溝通等功能．布魯姆曾經說過，在影響學業成績的各種變量中，家庭作業是“易變的變量”，即家庭作業對學生成績的影響差異很大[12]．如果作業布置失當，會產生諸多負面的影響．如影響學生的身心健康，導致學生創造力的缺失，助長學生的不良品行，等等[13]．

試驗班數學作業的重要性很容易被忽視．有時，教師選擇一些面向數學優秀學生的成品作業冊作為家庭作業讓學生同步完成．但這些作業冊中一般會有許多機械重復訓練的習題，過度的練習容易挫傷學生學習的積極性，占用學生自主思考問題的時間．試驗班教學中經常會有一些補充拓展的內容，這樣的作業是無法體現的．也有教師讓學生自我選擇家庭作業，看似培養了學生自我學習管理能力，但容易造成學生過早的分化，不易發揮好作業的教育教學功能．

多年來，研究者采用自編作業紙的形式布置每天的作業．從高一開學的第一天起，每天只要有數學課，便會配備一份數學作業．作業于次日收齊，批改后返還給學生．對于作業中出現的典型問題，安排適當時間做必要的講評．

作業的設計考慮到以下幾方面的因素．

首先，內容與課堂教學相匹配．針對課堂教學的重點、難點設計作業題．比如，在學習指數函數時，涉及到函數圖象的平移變換問題．教材并沒有將它作為重點，但對試驗班學生來說，圖象變換是溝通不同函數關系的重要途徑．所以，設計時需有所側重．再比如，教材中沒有數列的極限，教學時補充了相關內容，則在作業設計時，需專門考慮，并且要有足夠量的基礎知識與技能的訓練，以鞏固教學效果．

其次，嚴格控制作業量．課內學習僅是數學優秀生數學學習的一部分，他們需要有自己獨立學習思考的時間．雖然作業量稍大一些，學生也能完成．但無形之中侵占了學生自由支配的時間．一般情況下，絕大部分學生完成作業的時間控制在40分鐘左右，盡可能不超過一小時．對量的控制，主要從這幾方面把握．（1）盡量減少重復性的訓練題；（2）限定題量．題的總量一般在10道左右，其中填空題6~8道，解答題2~3道；（3）多選側重于思維的問題，少選需要大量繁瑣運算的問題．

此外，問題的形式盡可能新穎，讓學生感到有趣味．作業題的來源是多方面的．既有從課本的配套習題中選取或改編的，也有一些帶有競賽味道的，有一定挑戰性的，甚至還有一些是趣味數學題．許多問題都在原來的基礎上做了適當改編．一些典型的問題，盡可能避免在網上搜到現成的答案，以保護許多學生已養成的獨立思考習慣．

每份作業都有編號，便于學生收集整理．說到某一編號作業中的某一題，可迅速找到該題，這可為講評與交流討論提供便利．由于作業的設計充分考慮了教學現狀，考慮了學生的心理特征及感受，所以，作業受到絕大部分學生的歡迎．經常出現這樣的情況，下課后教師忘了發當天的作業，學生會主動找老師索?。?/p>

除了平時的作業外，對于寒、暑假作業，也有類似的安排．多年的實踐，使研究者認識到，在作業上的堅持，有利于學生養成良好的學習習慣，這一點對數學優秀的學生來說，同樣十分重要[14]．許多已經畢業的學生再回母校，回憶高中數學學習時，均認為“小白卷”（指編制的作業紙）使他們受益匪淺．

3.4 組建課外研究小組

美國英才教育專家蘭祖利（Joseph Renzulli）曾提出英才教育的三維教學模式．除識別學生的學習興趣、風格和能力水平，組織以學生為中心的多元化課程外，還包括通過多樣化的活動，比如個人和小組解決實際問題的研究，幫助學生實現能力的發展和提高[15]．

俄國數學英才教育，課外活動占有很大的比重，面向中小學生的Kruzhok（數學小組）是主要形式之一[16]．英國數學英才學生更多地偏好小組討論、動手操作、自主學習和輔助學習等學習方式[1]．唐盛昌和馮志剛根據二十多年對上海中學數學英才生的教學經驗，提出了培養數學英才生的兩種教學模式，其一便是建立學生團隊，集數學學習能力相仿、志同道合、各有特點的學生組成學習團隊，開展學習風暴式的合作交流[17]．

在對數學優生的教學中，教師不應是學生數學知識的惟一來源．成功的教學，最終應使學生超越教師．雖然都對數學有興趣，學生具體關注的內容也可能有別．有的酷愛平面幾何；有的喜歡數論；有的對組合數學情有獨鐘；有的可能癡迷于數獨．教師也不可能精通學生感興趣的每個方面．這時，為有共同興趣的學生搭建研究平臺，讓學生聚在一起，進行思維的碰撞，共同研究，相互促進，可取得良好的效果．

十多年前帶的試驗班中，有多人對平面幾何非常感興趣．為便于他們相互交流，提議學生辦一份研究平幾問題的班級小報，取名為“尺規探秘”．委托學生公認的平幾“大神”擔任主編，另外又聘數名學生為顧問．選擇了80道有代表性的平幾問題為素材，以小報的形式交流研究進展情況，教師也參與其中．報紙中有“破陣排行榜”，公布攻克難題題數較多的幾位學生排名，還有“解法討論與交流”“平幾定理介紹”等欄目．由于當時的信息技術裝備不如現在普及，報紙采用手寫，人工繪圖，再剪貼復?。輸涤邢?，僅供傳閱．這一活動極大促進了學生對平面幾何的學習．

研究小組的形式可以各式各樣，目的在于通過研究問題將有共同興趣的學生匯聚在一起．近年，研究小組又有了新的形式．依托學校的社團活動，學生成立了數學研究社團，成員不只局限于同班學生，可以是校內有共同愛好者．目前，研究者正受聘擔任“萬物皆數”社團的指導教師．

現在，成立研究小組更為方便．用通訊工具，可以很快建立起“朋友圈”．研究的問題可用圖片的方式發送，交流更加便捷．而缺少的恰恰是教師的組織引導與學生的自由支配時間．

3.5 充分發揮校內外教育教學資源的作用

英才的培養并不是在封閉環境中就能完成的，需要多方面因素共同作用．美國、法國、俄羅斯等國英才培養的成功經驗及國內相關的研究均表明[1，3-6，18]，讓學生與大師對話，更多地參與包括數學競賽在內的數學活動，接受有針對性的專項訓練，對英才的培養都會起到很好的促進作用．在這方面，作為試驗班的數學教師需要積極做好規劃、協調、組織與配合工作．

學校的大師進校園活動，常會邀請國內外的數學專家、院士，學生可近距離接觸大師，感受數學的最新發展；針對熱衷于數學競賽的學生，學校聘有主教練與各年級教練，對學生進行有針對性的指導．除高中數學聯賽外，學生還可參加東南數學競賽、女子數學奧林匹克競賽，以及多項國際數學競賽；在高三年級會邀請老師對學有余力的學生開設“高等數學選講”選修課，讓學生提前熟悉大學數學課程；每年一度的科技節，會有相應的數學主題活動．最近的一期便是由數學優秀生負責的數學文化展；假期學校會選派數學優秀生參加大學舉辦的數學夏令營或冬令營．近年，學校開設的“STEM+”課程，則為學生創造了將數學與其它學科的融合機會．

4 結語

數學英才教育不是階段性的教育，不可能單獨在高中階段完成，需要以初中教育為基礎，同時也在為將來的高等教育做準備．因此，不同階段需要相互銜接，才能取得最終的效果．當前，高中階段數學英才教育所面臨的困境，有些可以通過教育、教學實踐探索逐步化解，有些則需要大環境的改善．任課教師應努力做到，只要學生有相應的潛質，就不遺余力地為他們創造條件．勿使未來的杰出人才湮沒于數學教師手中．

[1] 李孝誠，綦春霞，王中雷．英國數學英才教育的實證研究及對我國的啟示[J]．教育學報，2012（1）：54–60．

[2] 蔣建華．數學英才教育的責任擔當[J]．數學通報，2011，50（3）：19–26．

[3] 張倜，曾靜，熊斌．數學英才教育研究述評[J]．數學教育學報，2017，26（3）：39–43．

[4] 張英伯，李建華．英才教育之憂——英才教育的國際比較與數學課程[J]．數學教育學報，2008，17（6）：1–4．

[5] 倪明．從戰略上重視數學英才教育[J]．數學教學，2006（12）：1–2．

[6] 王光明，宋金錦，佘文娟，等．建立中學數學英才教育的數學課程系統——2014年中學英才教育數學課程研討會議綜述[J]．課程·教材·教法，2014，34（5）：122–125．

[7] 王春輝，王乙?。剿鬟m合超常兒童發展的數學教育[J]．數學通報，2011，50（3）：26–28．

[8] 張英伯．發達國家英才教育的啟示[J]．中學數學月刊，2010（2）：1–2，13．

[9] 中國數學會普及工作委員會．高中數學競賽大綱[J]．中等數學，2006（12）：3–5．

[10] 朱勝強．函數教學中宜盡早向學生介紹的幾類函數圖象[J]．數學通訊，2009（11）：11–12．

[11] 朱勝強．為什么反比例函數圖象是雙曲線[J]．數學通報，2008，47（11）：46–48，50．

[12] 朱勝強．借助網絡平臺處理學生假期數學作業的實踐研究[J]．數學教育學報，2015，24（1）：100–102．

[13] 宋廣文，康紅芹．教師布置作業的形式與學生學習關系的反思[J]．課程·教材·教法，2009，29（12）：35–40．

[14] 朱勝強．通過課外作業培養學生良好的學習習慣[J]．數學教育學報，2012，21（6）：59–60，87．

[15] 戴耘，蔡金法．英才教育在美國[M]．杭州：浙江教育出版社，2013：67–68．

[16] 午飯．俄國的數學普及和英才教育[J]．數學通報，2011，50（6）：1–3．

[17] 唐盛昌，馮志剛．數學英才的早期識別與培育初探[J]．數學通報，2011，50（3）：11–15，18．

[18] 倪明，熊斌，夏海涵．俄羅斯高中課程改革的特色[J]．數學教育學報，2010，19（5）：12–16．

Practical Exploration on Education and Teaching of the Students Excellent in Mathematics

ZHU Sheng-qiang

(Nanjing Foreign Language School, Jiangsu Nanjing 210008, China)

The cultivation of talents was bound up with the core competitiveness of the country in the future, and the senior high school was the critical period to cultivate the talents. However, current educational situation in China for mathematical talents at the senior high school was alarming. In the science experimental class of some famous schools, where the students excellent in mathematics among the people of the same age were gathered, cultivation of the students became the maths teachers’ inescapable duty. In teaching practice, we could expand the teaching content, carry out inquiry teaching, design targeted assignments, set up extracurricular research teams and give full play to the function of internal and external resources of the school so as to improve the cultivation effect.

mathematical talents; students excellent in mathematics; cultivation; education and teaching; practice

2019–01–25

江蘇省教育科學“十二五”規劃課題——高中數學課堂實現教學目標的問題驅動策略研究（B-b/2015/02/261）；南京市教研室第十期教學研究課題——通過學生數學作業進行認知診斷的實踐研究；江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度課題——通過微型探究培養學生數學核心素養的實踐研究（B-b/2018/02/78）

朱勝強（1963—），男，江蘇儀征人，特級教師，正高級教師，主要從事課堂教學研究．

G420

A

1004–9894（2019）02–0052–04

朱勝強．數學優秀生教育教學的實踐探索[J]．數學教育學報，2019，28（2）：52-55．

[責任編校：周學智、陳漢君]