例析“圖形與幾何”里的代換思想

周建平

摘要：代換思想是把一個量用與它相等的另一個量替代，使問題簡單化，進而解決問題。本文結合長度代換、面積代換、體積代換這三個方面的實例，分析了小學數學“圖形與幾何”領域里代換思想解決問題的途徑。

關鍵詞：代換思想? ?長度代換? ?面積代換? ?體積代換

近年來，在小學數學課堂教學中，代換思想占有一席之地，得到廣泛應用。下面，筆者結合例題，分析在小學數學“圖形與幾何”領域中，使用代換思想解決問題的方法。

一、長度代換例析

例1：如圖1所示，陰影部分是正方形，AH=8厘米，DE=6厘米，求大長方形ABCD的周長。

分析：學生初讀題時會覺得缺少條件，因為計算長方形的周長，一般要已知長和寬，但本題中的已知條件只有兩個，AH=8厘米，DE=6厘米，是求不出長方形的長和寬的。

從“整體”考慮，長方形周長公式是周長=（長+寬）×2，學生只要知道“長+寬”，就可以求出周長，而不需要知道長和寬是多少。

AH、DE兩段的長度包括了中間的EH，如果把AH、DE這兩段長度加起來，相當于AE+EH+EH+HD。在計算中，EH被重復相加，即AH+DE=AD+EH，AD為大長方形的長，EH為正方形的邊長，而這個邊長正好是大長方形寬的長度，也就是說8+6所得到的長度是長方形周長的一半，這時再乘以2，就可以得到整個長方形的周長為28厘米。

二、面積代換例析

例2：如圖2所示，大正方形面積比小正方形面積大10平方厘米，求陰影部分的面積。

分析：本題陰影部分是一個梯形，求它的面積。按一般求法，學生要知道梯形的上底、下底、高，但題目中沒有出現;如果看成兩個三角形，仍找不到底和高各是多少。這時候，學生需要變換思路。如圖3所示，我們可以將小正方形移動到大正方形內，圖2和圖3中的陰影部分都是梯形，上底、下底和高都分別對應相等，兩個陰影面積相等。

如圖3所示，陰影部分同右下部分的梯形形狀、大小一樣，而這兩部分的面積之和（陰影面積的兩倍）正好是大正方形面積減去小正方形面積的差，即已知條件的10平方厘米，所以陰影面積為10÷2=5平方厘米。

我們無法根據梯形面積公式或三角形面積公式直接求出本題所求陰影部分面積，但運用了代換思想，并通過位移正方形，用與它上底、下底和高分別對應相等的梯形進行代換，學生就能解決問題了。

三、體積代換例析

例3：一個飲料瓶的下方是圓柱形，把300毫升的水倒進去，正放時，水的高度是12厘米（如圖4所示）;密閉后倒放時，空余部分的高度為8厘米（如圖5所示）。這個飲料瓶的容積是多少毫升？

分析：不管瓶子是正放還是倒放，瓶子的容積始終不變，瓶子里水的體積不變，剩余部分容積也不變。倒放時，剩余部分加正放時水的體積之和是整瓶的容積。

如果把圖5下方的水換成圖4下方的水，則可以畫出圖6。

由圖6可以看出，水的體積占整瓶容積的，也就是。由此可答，=，300÷=500毫升。

根據密閉狀態下水的體積不變，利用代換思想，用圖4下方水的體積代換圖5下方水的體積，與圖5上方剩余部分構成一個圓柱形，再用比例求解。

代換思想是小學階段的重要數學思想。在教學中，教師要引導學生在觀察中思考，指導學生用一個與它相等的量代換另一個量，達到巧解問題的目的。

（作者單位：江西省豐城市劍光第五小學）