“平面向量數量積的最值問題”微專題研究

韓瑋

摘? 要：從高考試題入手，探求“平面向量數量積”的不同解法，引導學生回顧、完善平面向量的基礎知識，建構解題方法，從感知、領會逐漸發展到應用、分析，有意識地將原有知識遷移到新的情境中做出決策并解決問題.

關鍵詞：知識遷移;感悟;高階知能

一、引言

數學課堂中，教師不僅要引導學生將所學的知識進行歸納、整理，形成知識結構網絡，更重要的是指導學生將已有知識與技能進行遷移訓練，培養學生觸類旁通、舉一反三、統籌運用所學知識解決問題的能力. 以“平面向量數量積的最值問題”微專題單元學習為例，筆者談談數學課堂中引導學生思維不斷走向深入的一些教學啟示.

二、示例研究

1. 試題入手，探求解法

題目1 （2020年北京卷·13）已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足[AP=12AB+AC，] 則[PD]的值為? ? ? ? ;[PB ? PD]的值為? ? ? ?.

解析：第一空解答的關鍵是根據向量加法的平行四邊形法則，畫出示意圖，易知點P是BC的中點，故[PD=5.]

第二空方法1：利用向量的數量積公式[PB ? PD=][PBPDcosPB， PD]直接計算即可. [∠BPD]的余弦值可以借助[Rt△PCD]求得，也可以連接BD，利用余弦定理求解.

第二空方法2：利用向量射影的概念，可知在公式[PB ? PD=PBPDcosPB， PD]中，[PDcosPB， PD]表示[PD]在[PB]方向上的射影，如圖1所示，顯然[PD]在[PB]方向上的射影是[-PC=-1，] 故[PB ? PD=-1.]

第二空方法3：如圖2，以A為原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，易知點B的坐標為[2，0，] 點P的坐標為[2，1，] 點D的坐標為[0，2，] 所以[PB=0，-1， PD=-2，1.] 由平面向量數量積的坐標運算公式，得[PB ? PD=-1.]

第二空方法4：利用平面向量基本定理：選取不共線向量[AB， AD]為一組基底，則[PB=-12AD， PD=][12AD-AB.] 所以[PB ? PD=-12AD12AD-AB=-14AD2+][0=-1.]

由上述高考試題探求了求解平面向量數量積的四種不同方法：數量積公式、平面向量射影定義、建系轉化成代數運算、平面向量基本定理. 這四種方法涉及平面向量的基本內容，也是平面向量的核心知識. 教學中，要對應不同方法引導學生回顧、完善平面向量的基礎知識，建構解題方法，從感知、領會逐漸發展到應用、分析，有意識地將原有知識遷移到新的情境中，做出決策并解決問題.

2. 優化解法，深化認知

（1）平面向量的基礎知識.

基本概念：向量;向量的三種運算——加減、數乘、數量積;向量的兩種表示方法——幾何、代數.

深度認知：平面向量射影定義在解題中的靈活運用.

變式1：已知正方形ABCD的邊長為2，點P在邊BC上運動，求[PB ? PD]的最大值.

解析：如圖3，利用平面向量射影概念，結合點P的運動，易知[PB ? PD]的最大值為0.

變式2：已知正方形ABCD的邊長為2，點P是邊BC的中點，若點Q是正方形ABCD內（含邊界）的任意一點，求[AP ? AQ]的最大值.

解析：如圖4，利用平面向量射影概念，結合點Q的運動，易知當點Q與點C重合時，[AQ]在[AP]方向上的射影最長為[AM=655，] 故[AP ? AQ]的最大值為6.

真題演練：（2020年全國新高考Ⅰ卷·7）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則[AP ? AB]的取值范圍是（? ? ）.

（A）[-2，6] （B）[-6，2]

（C）[-2，4] （D）[-4，6]

解析：如圖5，利用平面向量射影概念，根據題意：[AB]固定，結合點P的運動，易知當點P與點C重合時，[AP]在[AB]方向上的射影最長，為[AC=3;] 當點P與點F重合時，[AP]在[AB]方向上的射影最短，為[-AF=-1.] 故[AP ? AB]的取值范圍是[-2，6.]

從學情考慮，數量積公式的直接使用和建系轉化成代數運算這兩個知識點學生易于接受和掌握，也是學生解答此類問題的首選方法，其中的難點是兩個向量夾角的計算，以及恰當建系和在坐標系中正確書寫點的坐標及準確進行坐標運算. 突破難點的方法則是提升學生的運算素養. 而平面向量的射影定義和平面向量基本定理這兩個知識點在解題中的靈活運用恰恰是學生所欠缺的，因此這兩個內容值得花費時間和精力引導學生的思維走向深入，力求在問題解決的過程中引導學生深刻體會知識的發生過程，通過變式訓練和高考試題演練，幫助學生進一步感悟、提煉、歸納和鞏固，從而促使學生有意識地從知識的本質出發，多思少算，提升數學思維，達到深度學習的目的.

（2）平面向量基本定理的運用.

基本概念：[e1，e2]是同一平面內的兩個不共線向量，對于這一平面內的任意向量[a，] 有且只有一對實數[λ1，λ2，] 使[a=λ1e1+λ2e2，] 其中[e1，e2]是一組基底.

深度認知：平面向量基本定理在解題中的靈活運用.

題目2? 在平行四邊形[ABCD]中，[∠DAB=π3，AB=2，] [AD=1，] 若[M，N]分別是邊[BC，CD]上的點，且滿足[BMBC=CNCD，] 則[AM ? AN]的最大值為（? ? ）.

（A）2? ? ?（B）4? ? ?（C）5? ? ?（D）6

解析：如圖6，利用平面向量基本定理選取不共線向量[AB]和[AD]為一組基底.

設[BMBC=CNCD=λ，0≤λ≤1，]

則[AM=AB+BM=AB+λ?BC=AB+λ?AD， AN=AD+]

[DN=AD+1-λDC=1-λAB+AD.]

所以[AM ? AN=AB+λAD1-λAB+AD=1-λ ?][AB2+1+λ-λ2AB ? AD+λAD2=1-λ×22+1+λ-λ2×][2×1×cosπ3+λ×12=-λ2-2λ+5=-λ+12+6.]

所以當[λ=0]時，[AM ? AN]取得最大值5.

真題演練：（2018年天津卷·理8）如圖7，在平面四邊形[ABCD]中，[AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=][AD=1.] 若點E為邊CD上的動點，則[AE ? BE]的最小值為（? ? ）.

（A）[2116] （B）[32]

（C）[2516] （D）3

解析：如圖8，根據題意，結合此題所涉及平面圖形的結構特點，延長BA，CD交于點O，易知[△CBO]為直角三角形，[∠BOC=30°，OA=2，OD=3.]

連接BD，由已知條件，在[△BAD]中利用余弦定理易求出[BD=3.]

由[AB=AD，∠BAD=120°，] 得

[∠ADB=∠ABD=30°.]

所以[∠BDC=60°.]

而由已知易知[∠DCB=60°，]

所以[△BDC]是正三角形.

所以[DC=BC=DB=3.]

所以[CO=23.]

由平面向量基本定理，選取不共線向量[OA]和[OC]為一組基底，

設[OE=λOC， 12≤λ≤1，]

則[AE=AO+OE=AO+λOC=-OA+λOC， BE=]

[BO+OE=-32OA+λOC.]

所以[AE ? BE=-OA+λOC-32OA+λOC=32OA2-][52λ?OA ? OC+λ2OC2=12λ2-52λOAOCcosOA， OC+]

[6=12λ2-15λ+6=12λ-582+2116.]

所以當[λ=58]時，[AE ? BE]取得最小值[2116].

這兩道題目通過恰當建系將向量問題代數化，均可獲解. 上述利用平面向量基本定理解答的方法則是在學生深刻理解題意，明確平面圖形的結構特點的基礎上，選取一組基底，同時用基底表示待求問題中的兩個向量，再利用平面向量的數量積計算公式將求向量數量積的最值問題等價轉化為二次函數在指定區間上的最值問題，這顯然進入了求解最值問題的常見思路，這正是深度學習所要達到的目的——學會遷移，即在遇到新問題時能夠運用已學知識和技能加以解決. 遷移不僅是學習結果在變化了的條件下的運用，更是完成新的學習任務的基本條件. 學生掌握的知識與技能、已獲得的經驗，通過廣泛的遷移，不斷被歸納、強化和運用，進而轉化為解決問題的能力，因此在教學中指導學生學會運用知識，識別不同表象下知識、技能、方法間的內在結構和問題本質，才能發展學生觸類旁通、舉一反三、運籌帷幄地運用所學知識解決問題的能力.

3. 拓展提升

題目3? 如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內切球的一條弦（球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，[PM ? PN]的取值范圍是? ? ? ?.

解法1：根據題意，MN是正方體ABCD-A1B1C1D1內切球的最長弦，故MN應該是內切球的直徑，則MN = 2.

設M，N分別是內切球在正方體左、右側面的切點. 如圖10，當點P在正方體的表面運動，且與正方體的某個頂點重合時，[PM ? PN]達到最大值.

以點P與點[C1]重合為例，此時[PM ? PN=C1M ?][C1N=C1MC1NcosC1M， C1N. C1McosC1M， C1N]是[C1M]在[C1N]方向上的射影.

如圖10，顯然[C1M]在[C1N]方向上的射影的最大值是[C1N=222=2.] 此時[PM ? PN=C1N2=2.]

而當點P與正方體的某個面的中心重合時，[C1M]在[C1N]方向上的射影的最小值是0，所以[PM ? PN]的取值范圍是[0，2.]

解法2：已知正方體的棱長為2，由題意知正方體內切球的半徑為1，正方體的體對角線長為[23.] 當弦MN的長度最長時，MN應為內切球的直徑.

如圖11，設內切球的球心為O，不妨選取不共線向量[OP， ON]為一組基底，

可得[PM=PO+OM=-OP-ON， PN=PO+ON=][-OP+ON.]

所以[PM ? PN=-OP-ON-OP+ON=OP2-ON2=][OP2-1.]

因為點P為正方體表面上的動點，

故[OP∈1， 3，]

所以[PM ? PN]的取值范圍是[0，2.]

題目3將向量問題拓展到了空間，看似復雜，實則說明在教學中要引導學生深入理解題意，并能從立體圖形中提取與待求量相關的最基本的平面圖形，最終追根溯源對基本圖形進行深入分析，逐步建構待求量與已知知識之間的內在邏輯關聯，將所學知識遷移到待解決問題的思維結構中，并在獨立思考和試誤中產生頓悟，最終利用平面向量的射影定義或找到一組恰當的基底，借助平面向量基本定理獲解.

學之道在于“悟”. 對數學知識本質的理解需要有長時間悟的過程，而這一過程恰恰是學生自我思考、自我試誤、自我反思、自我總結的過程. 不同的思維切入點，往往能夠獲得不同的學習體驗和感悟，正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”. 這就要求學生在“悟”中不斷提升高階知能的生成，通過有啟發性的學習和活動促使學生深度參與思考，恰切采用高層次學習方略，達到遷移應用，實現高階知能在全新情境中的應用的有意義學習.

參考文獻：

[1]何玲，黎加厚. 促進學生深度學習[J]. 現代教學，2005（5）：29-30.

2196501705379