結構表征：思維從“內隱”走向“外顯”

丁洪

［摘 要］除法有“等分除”和“包含除”兩種類型。在連除的實際問題中，求“單量”表現為“連續等分”或“整體等分”，而求“數量”表現為“連續包含”和“整體包含”。連除類型不同，結構內在相通。運用結構圖式表征、分析和解決問題，有助于貫通觀察方法、數學思考和有序表達，提升數量關系理解和連除運算能力，發展結構化的思維素養。

［關鍵詞］結構表征；思維外顯；連除問題；數學化

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0010-04

“連除的實際問題”屬于數與代數領域內容，主要聚焦“數量關系”和“數的運算”。蘇教版教材將它編排在四年級上冊第二單元，是在學生已經學習“連乘的實際問題”和“兩、三位數除以兩位數（不含調商）”等知識基礎上教學的。從知識技能看，主要引導學生從不同角度理解、表征和解決連除的相關實際問題，提升“一題多解”的能力，豐富“殊途同歸”的認知。從過程方法看，主要引導學生從條件想起，逐步推導出所需結論，喚醒“關系組合”的意識，滲透“由因導果”的策略。從情感態度看，主要激發學生直面問題的探究動能、創造潛能和結構智能，讓學生樹立“勇于突破”的信心，涵養“理性思維”的品質。

為了提高課堂教學實效，需要關注和思考以下問題。一是為什么這時候學？對此要處理好學生的階段需求與連除知識的價值，突出關系理解和變式重組，避免“就事論事”和“淺嘗輒止”；二是怎么去學？對此要處理好學生除法經驗的新舊對接與多元表征，辯證自主探究和共性概括，避免“居于一隅”和“短視行為”；三是學到什么程度？對此要處理好學生除法意義的理解程度與可視表征，建構思維場域和全局視野，避免“碎片思考”和“單向體驗”。最終，助力學生建構連除實際問題中“類型不同，結構相通”的橫向認知，以及連乘連除實際問題中“方向不同，結構相聯”的縱向認知，提升連除運算能力，發展結構化思維素養。

一、自主探究，呈現結構

（一）選條件，提問題

師（出示主題圖情境，如圖1）：通過交流，我們已經知道有三個條件（①一共放了224本書；②2個書架；③每個書架有4層。）和一個問題（平均每個書架每層放多少本書？）?，F在，請你選兩個條件，說說解決問題時可以先算什么。

生1：根據條件①和條件②，可以先算平均每個書架的本數。

生2：根據條件②和條件③，可以先算兩個書架一共的層數。

生3：根據條件①和條件③，可以先算兩個書架同一層的本數。

師：看來，根據兩個有聯系的條件可以提出并解決一個一步計算的問題。

（二）畫過程，明算理

師：順著這些思路，怎么解決每個書架每層的本數的問題？（出示活動要求：將長方形看成總本數，選擇其中一種方法，在圖形中畫出過程；比一比，看誰想得明白、畫得清楚、算得正確；先獨立思考，再在組內交流。）

生4（出示圖2）：先將長方形平均分成2份，列式224÷2＝112（本），算出每個書架的本數；再把一個書架上的本數平均分成4份，列式112÷4＝28（本），算出平均每個書架每層的本數。因此，就涂這樣的一份。

生5（出示圖3）：先算兩個書架一共的層數，2×4＝8（層），對應地將長方形平均分成8份，涂出其中的一份；再用224÷8＝28（本），算出平均每個書架每層的本數。

生6（出示圖4）：先將長方形平均分成4份，列式224÷4＝56（本），算出2個書架同一層的本數；然后選擇第一層再平均分成2份，涂出其中的一份，列式56÷2＝28（本），算出平均每個書架每層的本數。

師：能依次列出相應的綜合算式嗎？

生7：224÷2÷4＝28（本）。

生8：224÷（2×4）＝28（本）。

生9：224÷4÷2＝28（本）。

（三）比異同，理結構

師：比較畫圖和列式的過程，你有什么有趣的發現？

生10：雖然運算的順序不同，但是條件相同，所以結果一樣。

生11：我發現圖2和圖4是一步一步地平均分的，而圖3是先求“總層數”，然后一起平均分的。

生12：每種方法中畫圖順序和列式順序是對應的，都畫了兩次，也算了兩次。

師：大家想象一下，圖2、圖3、圖4和圖1中書架的結構能完全重合嗎？

生13：能。如果把圖2從左往右補全，圖4從上往下補全，那么三幅圖形的結構與書架結構就是一樣的。

生14：其實，書架個數對應圖形豎排個數，書架層數對應圖形橫排個數，書架結構與圖形結構剛好一一對應。

師：真好！通過實際問題的解決和比較，我們基本弄清了連除算理和思維關鍵，也初步體驗到連除特點和結構聯系，這就是我們今天研究的內容。

（板書課題：連除的實際問題）

【思考：“連除問題”是由兩種簡單的、關聯的“一步除法”組合而成。其中，“等分除”可以細分為“連續等分”和“整體等分”兩種情況，思維結構體現“一維線性”向“二維平面”的轉變。由于例題中的數據較小，計算難度僅限于“兩、三位數除以一位數”，所以教學重心不在于“算法技能”的嫻熟精進，而在于“算理本質”的深度理解。首先，通過條件的自由選擇和組合描述，引導學生感受“先算什么”的起點不同、條件關聯和結果唯一，為連除問題“一題三解”奠定方法基礎，指明操作路徑。其次，借助“分步計算”和“畫圖示意”的同構活動，引導學生通過不同方式合理表征連除算理，強化“怎樣算”與“怎樣畫”的程序對應、思維互動，并在此基礎上，借助綜合算式記錄連除過程，進一步凸顯問題的結構特征。最后，通過對比反思三種方法，驅動學生有序梳理條件和問題、著力分析思維過程，初步實現連除的外在算法與內在算理的認識融合，尤其是圖形與書架的結構聯結，更為后續結構化學習做好必要鋪墊?！?/p>

二、靈活檢驗，對比結構

師：想一想，這題的結果可以怎樣檢驗？

（學生先獨立思考，再組內交流。教師巡視，提醒學生用聯系的眼光看問題。）

生1：可以用不同的方法再做一次。

生2：因為用三種方法解題，雖然先算的內容不同，但是最后的結果必須一樣。

師：還有其他檢驗方法嗎？

生3：我們組認為，可以把“商28本”代入原題，倒過來用乘法算一遍，看一看“2個書架是不是一共有224本書”。

師：請具體說說怎么想和怎么算的。

生4：先算一個書架的本數，再算總本數，列式28×4×2＝224（本）。

生5：先算兩個書架的總層數，再算總本數，列式2×4×28＝224（本）。

生6：先算兩個書架同一層的本數，再算總本數，列式28×2×4＝224（本）。

師：回顧檢驗的過程和方法，你有什么發現？

生7：我發現“一共有224本書”從條件變成問題，而“每個書架每層28本”從問題變成條件。

生8：我發現“總本數”“架數”“層數”和“每個書架每層的本數”這些信息之間有聯系，知道其中的三個信息，就可以求出剩下的信息。

生9：連除和連乘的運算順序變化了，同一種方法的圖形結構沒有變化，但是觀察的方向相反。

師：看來，“被除數÷除數÷除數＝商”，既可以交換除數位置，順向思考，用除法檢驗除法，也可以用“商×除數×除數＝被除數”，逆向操作，即用乘法檢驗除法。

【思考：驗算是連除學習中的重要環節。驗算不是機械地摘抄數據湊答案，而是經驗的有效連接和習慣的品質培育和認。具體來說，一方面是“順向經驗”的激活，通過“怎么想到”的方法溯源，對比“數位置”與“式結構”，進一步體驗連除運算“不同方法”的外形結構、思維特點和內涵實質。另一方面是“逆向經驗”的激活，通過說清楚“先算什么”和“再算什么”，列綜合算式感知“連乘結構”，并在對比、聯系和發現中，進一步感悟“連除算”與“連乘算”之間的思維互逆、結構統一和認知平衡?！?/p>

三、多向實踐，遷移結構

（一）求單量，悟等分

1.排隊問題

出示情境（如圖5）：四年級168學生去參觀科技館，平均分成4隊，每隊平均分成3組。每組有多少人？

師（出示圖6）：先用結構圖梳理條件和問題，再說說怎么想和怎么算。

師：請具體說說怎么想和怎么算的。

生1：我先豎著看，用168÷4＝42（人），算出每個隊的人數，再橫著看，用42÷3＝14（人），算出每組人數。綜合算式為168÷4÷3＝14（人）。

生2：我是整體看的。先用4×3＝12（組），算出小組的總數，再用168÷12＝14（人），算出每組人數。綜合算式為168÷（4×3）＝14（人）。

生3：也可以先橫著看，用168÷3＝56（人），算出4個隊同一組的人數；再豎著看，用56÷4＝14（人），算出每組人數。綜合算式為168÷3÷4＝14（人）。

師：其實，先等分“隊數”再等分“組數”，或者先等分“組數”再等分“隊數”，都是連續等分除。而先算“總組數”再算“每組人數”，則是整體等分除，殊途同歸。

2.吃蟲問題

出示情境（如圖7）：三只燕子一個星期吃924只害蟲。平均每只燕子每天吃多少只害蟲？

師（出示圖8）：先用結構圖梳理條件和問題，再說說怎么想和怎么算。

生4：我先豎著看，用924÷7＝132（只），算出3只燕子1天吃害蟲的總只數，再橫著看，用132÷3＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數。綜合算式為924÷7÷3＝44（只）。

生5：我先橫著看，用924÷3＝308（只），算出1只燕子7天吃害蟲的總只數，再豎著看，用308÷7＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數。綜合算式為924÷3÷7＝44（只）。

生6：也可以整體看，先用7×3＝21（只），算出7天里燕子出現的總只數，再用924÷21＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害蟲的只數。綜合算式為924÷（7×3）＝44（只）。

師：其實，先等分“天數”再等分“只數”，或者先等分“只數”再等分“天數”，都是連續等分除。而先求“7天里燕子出現的總只數”再算“平均每只燕子每天吃害蟲的只數”，則是整體等分除。它們的道理是相通的。

（二）求數量，悟包含

1.吃藥問題

出示情境（如圖9）：一瓶藥共150片，王大伯每日吃3次，每次2片。這瓶藥可以吃多少天？

師（出示圖10）：先用結構圖梳理條件和問題，再說說怎么想和怎么算。

生7：我先豎著看，用2×3＝6（片），算出一天吃的片數，再橫著看，用150÷6＝25（天），算出這瓶藥片包含幾個6片，也就是吃的天數。綜合算式為150÷（2×3）＝25（天）。

生8：我是從整體看的。先用150÷2＝75（次），算出吃的總次數，再用75÷3＝25（天），算出以3次為一天吃的天數。綜合算式為150÷2÷3＝25（天）。

生9：也可以先橫著看，用150÷3＝50（片），算出所有早上吃的片數，再豎著看，用50÷2＝25（天），算出吃了幾個早晨，對應的就是幾天。綜合算式為150÷3÷2＝25（天）。

師：其實，先算“一天吃的片數”再算“天數”，是整體包含除；而先算“總次數”或“同一時段吃的總片數”，再算“天數”，則是連續包含除，目標一致。

2.包裝問題

出示情境（如圖11）：有一種面包的包裝是2個裝一袋，4袋裝一盒。104個面包一共可以裝多少盒？

生10：我先豎著看，用2×4＝8（個），算出一盒面包的個數，再橫著看，用104÷8＝13（盒），算出一共裝的盒數。綜合算式為104÷（2×4）＝13（盒）。

生11：我是從整體看的。先用104÷2＝52（袋），算出包裝的總袋數，再用52÷4＝13（盒），算出一共裝的盒數。綜合算式為104÷2÷4＝13（盒）。

生12：也可以先橫著看，用104÷4＝26（個），算出每盒中第一袋位置上的總個數，再用26÷2＝13（盒），算出包含幾個第一袋，對應的就是幾盒。綜合算式為104÷4÷2＝13（盒）。

師：其實，先算“一盒個數”再算“盒數”，是整體包含除；而先算“總袋數”或“同一位置上的總個數”，再算“盒數”，則是連續包含除。這兩種算法同樣精彩。

【思考：“等分除”和“包含除”的運算基礎都是“平均分”，思維結構必然關聯，但學生對除法意義的體驗有所區別。具體來說，一是借助“排隊問題”和“吃蟲問題”，順勢遷移解決“書架問題”時的表征結構、觀察角度和思考流程，明確“連續等分”和“整體等分”的外在算式差異，凸顯“一題三解”的內在結構統一，側重“等分除”的原始模型，即“總量÷數量＝單量”的認知生長和有序建構。二是借助“吃藥問題”和“包裝問題”，順勢呈現“連續包含”和“整體包含”的連除結構，促使學生感受到連除類型雖然發生變化，但是其算理和算法依然統一，凸顯“包含除”的原始模型，即“總量÷單量＝數量”的認知生長和有序建構。顯然，這樣的結構表征能夠助推學生思維外顯，增強學生結構思維的意識激發，幫助學生的整體理解和認同策略?！?/p>

四、反思概括，內化結構

師（出示所有的圖形結構，如圖13）：千金難買回頭看。觀察和對比這些圖形結構，你有什么體會？

生1：我覺得這類問題從條件想起比較方便。

生2：我發現連乘是求“總量”，需要把“單量”合起來，連除是求“單量”或者“數量”，需要把“總量”平均分。

生3：我來補充。連除中求“單量”是等分除，可以“連續等分”或“整體等分”；連除中求“數量”是包含除，可以“連續包含”或“整體包含”。

師：愛動腦，會思考，為你們點贊！在解決連除的實際問題中，角度“怎么看”與條件“怎么選”同步，圖形“怎么畫”與算式“怎么列”同構，有了結構圖的呈現、連接和助力，我們的思維才能變得有抓手、有方向和看得見。

【思考：反思是基于知識又超越知識的能動行為。具體來說，一是對連除的實際問題解決過程的反思，主要建構策略介入、算式表征和檢驗方法的一般性，“就事論事”的意味較濃；二是對連除的實際問題的認知提煉，主要建構圖形結構、程序推演和思維雙向的一致性，“深入淺出”的訴求明顯。顯然，兩種反思都有價值、融合共生，助推學生數學精神、思想和方法的有序生發與有效沉淀?！?/p>

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十五期立項課題“指向‘三會素養的小學數學游戲化學習設計研究”階段性成果（課題批準文號：2023JY15-L190）?！?/p>

（責編? ? 金? ? 鈴）