培養學生數學觀念的主要途徑

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標2011年版》）提出課程“總目標”后，又從“知識技能”“數學思考”“問題解決”和“情感態度”四個方面進行了具體闡述.仔細研讀這些具體闡述，將會發現這四個方面都含有對學生進行數學觀念培養的要求.怎樣培養學生的數學觀念是一個非常值得我們研究和實踐的課題，經過長期的教學實踐，我們認為培養學生數學觀念的主要途徑有：

1加強“四基”教學，為培養數學觀念奠定基礎

學生擁有的知識容量越大，已有的數學認知結構越優化，其數學觀念就越強.一個人有無數學觀念或者說他的數學觀念強弱的前提，是看他能否具備堅實的數學基礎知識，牢固掌握《課標2011年版》規定的課程內容.因此，要培養學生的數學觀念，首先應加強“四基”的教學，即強化數學基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗的教學.對這些知識的學習，有效的做法是讓學生“經歷三個過程，參與一個活動”：其一，經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能；其二，經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能；其三，經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程，掌握統計與概率的基礎知識和基本技能；其四，參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法解決簡單問題的數學活動經驗.長期經過這樣的訓練，學生就能扎實掌握基礎知識，從而具備逐漸形成數學觀念的“源泉”或“資本”.

案例1哪段路更好走？

在某旅游景區上山的一條小路上，有一些斷斷續續的臺階，如圖1所示的是其中的甲、乙兩段臺階路的示意圖（數字為臺階的高度，單位：cm）.請根據所學的知識回答下列問題：

（1）兩臺階有哪些相同點和不同點？

（2）哪個臺階走起來更舒服？為什么？

（3）為方便旅客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階，在臺階數不變的情況下，請你提出合理的整修建議.

要培養學生應用數學方法去觀察、分析、解決所遇到的問題的意識，即培養學生的數學觀念，必須重視基礎知識的教學，如果學生基礎知識學習的不扎實，就不能形成優化的數學認知結構，也就不能靈活運用這些知識解決有關的問題，培養其數學觀念就成為一句空話.

2注重過程教學

《課標2011年版》指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”.數學觀念的形成與發展貫穿在學習過程之中，是伴隨著學習活動逐漸形成的，與學生的學習活動過程密切相關.在數學教學中，我們應結合具體的課程內容，設計有效的探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，并且不斷積累數學活動經驗.

案例2“垂線段最短”的探究發現過程.

“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”是垂線的重要性質，對于這個性質可用下面的問題串，引導學生經歷探究與發現的過程：

（1）如圖2，怎樣測量跳遠的成績？

（2）在圖3中，如果要從人行橫道線點P處過馬路，怎樣走線路最短？你能把最短的線路畫出來嗎？

（3）如圖4，點P在直線l外，點O1，O2，O3，…在直線l上，其中PO⊥l，量出線段PO，PO1，PO2，PO3，…的長度.在這些線段中，哪一條最短？

（4）如圖5，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為點O，O1、O2是l上任意兩點.

①畫出所給圖形沿直線l翻折后的圖形；

②你能說明PO

3實施問題解決的策略

《課標2011年版》在“課程目標”中要求學生“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力.”可見，在整個數學教育過程中都應培養學生的應用意識，應用意識是重要的數學觀念之一.為實現上述目標，我們要實施“問題解決”的教學策略.

案例3有趣的“握手次數”問題.

在一個國際活動中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹.試問：（1）在這次見面中有多少次不同的握手？（2）如果代表的人數多于10人，共有多少次握手？對于任意人數赴會，能否找出一種辦法計算不同的握手次數？

這是一個很有趣的問題，對于培養學生的思考能力、探索能力等都是非常有益的.為了降低難度，引發學生的學習積極性和主動性，我們可以用下面的三個問題引導學生去思考與探索，從而形成學生用數學眼光分析問題、發現問題并解決問題的能力：

（1）如果有兩個同學，握手的次數為1次；如果有3兩個同學，握手的次數為2次；如果有4個同學握手6次….

如果有5個同學、6個同學呢？有n個同學呢？

用y表示n個同學兩兩握手一次需要握手的次數，請完成下表：

n123456…y（2）以表中的對應數據為坐標點，描出y與n之間的函數關系所對應的圖象.

（3）猜想y與n之間的函數關系是怎樣的？并求出y與n之間的函數關系式.

簡解：（1）學生通過實驗、探究等活動，不難得到表格中對應的y值.

4重視推理能力的訓練

《課標2011年版》指出“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中.……推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論.”

《課標2011年版》把“課程內容”分三個學段從“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”及“綜合與實踐”四個方面進行了詳細的要求，這四個方面都為學生推理能力的發展提供了豐富的素材.在教學時，要結合具體內容精心設計問題情境，為他們推理意識、空間觀念、數據分析等觀念的形成與發展，提供相應的時間與空間.

案例4調查某校八年級學生的視力情況.

這個案例有利于發展學生的數據分析觀念.教學中要以學生親身經歷和體驗統計過程作為主線，引導學生經歷“提出問題——收集數據——分析數據——作出判斷”四個過程：

（1）提出問題

如果該校八年級學生不是很多，可以采用普查的方法.如果學生較多，可以采用抽樣的方法，這時應當注意樣本選取的代表性和適當的樣本容量.

為便于記錄和統計，很容易想到要設計下面的記錄表（只給出樣式）：

學校班級檢查時間

編號姓名左眼右眼備注（2）收集數據

假如采用的是抽樣的方式，從該校八年級學生中隨機抽取了50名學生進行視力檢查，顯然能收集到100個數據（具體數據反映在下面的表格中，這里省略）.

（3）分析數據

右眼情況是：

視力0102030405060708101215人數1122234591011左眼情況是：

視力0102030405060708101215人數1215352410710（4）作出判斷

本次調查可得到的判斷很多，如：

①只要是視力低于15的就算是近視眼，所以結論是該校八年級學生中視力情況不容樂觀.就右眼來說有39人近視；就左眼來說有40人近視.

②這50名同學右眼視力的平均值為：

150（01×1+02×1+03×2+04×2+05×2+06×3+07×4+08×5+10×9+12×10+15×11）=0976.據此可估計該校八年級學生右眼視力的平均值為0976.

左眼視力的平均值為：

150（01×1+02×2+03×1+04×5+05×3+06×5+07×2+08×4+10×10+12×7+15×10）=0906.據此可估計該校八年級學生左眼視力的平均值為0906.

③該校八年級學生右眼的視力好于左眼的視力.

④同學們應加強體育鍛煉，注意看書的姿勢，減少看電視及上網的時間.

……

在這個過程中，學生的推理能力和數據分析觀念都將得到到相應的提高.

5強化數學思想方法的滲透與訓練

《課標2011年版》已把數學思想方法作為重要的數學基礎知識，重視和加強數學思想方法的教學對形成和發展學生的數學觀念具有重要的價值.數學觀念指導下的數學思想方法的教學分為滲透與啟迪階段、意識與領悟階段、形成與應用階段以及深化與發展階段四個層次或階段.

案例5“對稱”觀念的形成過程.

就數學對象而立，“對稱”是一個獨具特色的形式，它可以是一個現象，也可以是一個概念，還可以是一種認知模式，解題策略，當然也是一種重要的數學思想.對它的理解與運用，有助于促進學生對整體思想、運動與變化思想及審美意識的形成，這些都是數學觀念的具體體現.我們認為，學生對以下四個問題的思考與解答，基本上能體現出形成“對稱”觀念的四個階段.

第一，滲透與啟迪階段.

讓學生知道在數學中有“對稱”這種形式存在.

問題1：見“數學教學中應強化的幾種數學觀念”中的案例2[1].

第二，意識與領悟階段.

要讓學生認識到對稱是一個概念，并能做到深入理解：可以有軸對稱、中心對稱等.

問題2：如圖7，有兩個全等的正方形ABCD和MNPQ，A點位于正方形MNPQ的中心，AD在MN的13處與之相截，那么重合的部分面積是多少？

延長BA、DA交PN、PQ于S、T，則MNPQ被分為四個面積相等的部分，于是重合部分的面積是正方形面積的14.

通過解答這個問題，學生已經能認識到對稱的有關基本性質，并能初步應用性質.此時引導學生思考：改變一下問題的條件結果變嗎？學生在交流的基礎上得到交點在13或14處或其它地方并不影響問題的結論.到此，對稱就作為一個獨立的概念，游離于正方形之外（如果不是正方形而是其它圖形，只要有這種“對稱”，則結論可類似得到）.

第三，形成與應用階段.

把對稱作為一種思維模式，自覺地意識到某些“對稱”現象，并以此作為求解問題的突破口與策略，去構造問題的解.于是利用對稱可以研究某些特殊的三角形、四邊形及圓的有關性質.

問題3：給定一個圓，在該圓周的每一點可染上白色或黑色.采用什么樣的染色方案，可以保證內接此圓的任一直角三角形的三個頂點的顏色不全相同（圖8）？

圓既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，圓內接直角三角形的斜邊即為圓的一條直徑，所以斜邊的兩個端點（即該三角形的兩個頂點）是關于圓心O的一對“對稱”點，只要使這一對“對稱點”上顏色不同即可.從而知，染色方案是只要將同一直徑的兩個端點染上不同的顏色，就能滿足題目的要求.

第四，深化與發展階段.

通過前三個階段的學習，對稱作為一種認知模式在同學們的認知結構中基本上已經建立起來了，它表現出個體自覺地意識到某些“對稱”現象，并以此作為求解問題的突破口或策略，去構思問題的解.若要使學生對于“對稱”模式的認知運用或超越“直觀”的水平，則需使之徹底擺脫幾何圖形的束縛，從而漸升為一種思維方式，甚至一種觀念.

問題4：求函數S=xy，x>0，x+y=1時的最大值.

該題中x與y的地位相當——條件中x與y互換時，原題不變，這樣可以認為：沒有理由突出x或y，故極大值在x=y時取得.這樣考慮，是認知水平的飛躍，徹底擺脫了幾何圖形的約束.endprint

對稱作為一個重要的數學概念，經過以上四個階段的學習，已經根深蒂固地在同學們的知識結構中建立起來了，這時學生對對稱的認識已經從思想方法上升為一種觀念.

6重視數學建模教學

《課標2011年版》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”史寧中教授反復強調：數學模型是溝通數學與外部世界的橋梁，應用能力強，通過建立數學模型解答實際問題是數學教學努力培養的一種意識（觀念）.

《課標2011年版》規定的課程內容中的絕大部分本身就是一個數學模型.例如，正、負數是表示“具有相反意義的量”的數學模型；有理數的加法法則是借助于數軸模型探索得到的；分式是表示兩個整式相除的數學模型；方程及不等式都是在已知數和未知數之間建立的一個數學模型；函數是表示兩個集合之間對應關系的一個數學模型；三角形全等是描述圖形重合的數學模型；相似形則是表示形狀相同的數學模型；400個同學的學校里一定有兩個同學是同一天出生的數學模型叫做抽屜原理；轉盤游戲的評判與設計的關鍵就是建立概率模型；測量不可到達的兩點之間的距離，就是通過建立數學模型解決實際問題的典型例子.……

事實上，數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的.如各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，就是一些具體的數學模型.從這個意義上來說，數學教學實際上就是教給學生前人構建的一個一個的數學模型，逐步形成建立數學模型的觀念.

前面所列舉的案例3中的“握手次數問題”，通過教師創設的一系列問題，最后得到一個握手次數y與同學人數n之間的一個函數關系式S=12n2-12n.這就是人數n與握手次數y之間的一個數學模型，有了這個數學模型，握手問題就不難解決了.

數學觀念是在基礎知識的學習、基本技能的訓練、數學綜合能力的提高等過程中逐漸形成和發展的.所以培養和發展學生數學觀念是一個系統工程，培養的途徑遠不止上面這些.希望老師們深入研究《課標2011年版》和相關的教育理論研究成果，努力探討一些新的有效的教學途徑，共同為培養學生的數學觀念，從而提高學生的整體素質，作出我們應有的貢獻.

參考文獻

[1]李樹臣.數學教學中應強化的幾種數學觀念[J].中學數學雜志，2014（6）：11.endprint

對稱作為一個重要的數學概念，經過以上四個階段的學習，已經根深蒂固地在同學們的知識結構中建立起來了，這時學生對對稱的認識已經從思想方法上升為一種觀念.

6重視數學建模教學

《課標2011年版》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”史寧中教授反復強調：數學模型是溝通數學與外部世界的橋梁，應用能力強，通過建立數學模型解答實際問題是數學教學努力培養的一種意識（觀念）.

《課標2011年版》規定的課程內容中的絕大部分本身就是一個數學模型.例如，正、負數是表示“具有相反意義的量”的數學模型；有理數的加法法則是借助于數軸模型探索得到的；分式是表示兩個整式相除的數學模型；方程及不等式都是在已知數和未知數之間建立的一個數學模型；函數是表示兩個集合之間對應關系的一個數學模型；三角形全等是描述圖形重合的數學模型；相似形則是表示形狀相同的數學模型；400個同學的學校里一定有兩個同學是同一天出生的數學模型叫做抽屜原理；轉盤游戲的評判與設計的關鍵就是建立概率模型；測量不可到達的兩點之間的距離，就是通過建立數學模型解決實際問題的典型例子.……

事實上，數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的.如各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，就是一些具體的數學模型.從這個意義上來說，數學教學實際上就是教給學生前人構建的一個一個的數學模型，逐步形成建立數學模型的觀念.

前面所列舉的案例3中的“握手次數問題”，通過教師創設的一系列問題，最后得到一個握手次數y與同學人數n之間的一個函數關系式S=12n2-12n.這就是人數n與握手次數y之間的一個數學模型，有了這個數學模型，握手問題就不難解決了.

數學觀念是在基礎知識的學習、基本技能的訓練、數學綜合能力的提高等過程中逐漸形成和發展的.所以培養和發展學生數學觀念是一個系統工程，培養的途徑遠不止上面這些.希望老師們深入研究《課標2011年版》和相關的教育理論研究成果，努力探討一些新的有效的教學途徑，共同為培養學生的數學觀念，從而提高學生的整體素質，作出我們應有的貢獻.

參考文獻

[1]李樹臣.數學教學中應強化的幾種數學觀念[J].中學數學雜志，2014（6）：11.endprint

對稱作為一個重要的數學概念，經過以上四個階段的學習，已經根深蒂固地在同學們的知識結構中建立起來了，這時學生對對稱的認識已經從思想方法上升為一種觀念.

6重視數學建模教學

《課標2011年版》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”史寧中教授反復強調：數學模型是溝通數學與外部世界的橋梁，應用能力強，通過建立數學模型解答實際問題是數學教學努力培養的一種意識（觀念）.

《課標2011年版》規定的課程內容中的絕大部分本身就是一個數學模型.例如，正、負數是表示“具有相反意義的量”的數學模型；有理數的加法法則是借助于數軸模型探索得到的；分式是表示兩個整式相除的數學模型；方程及不等式都是在已知數和未知數之間建立的一個數學模型；函數是表示兩個集合之間對應關系的一個數學模型；三角形全等是描述圖形重合的數學模型；相似形則是表示形狀相同的數學模型；400個同學的學校里一定有兩個同學是同一天出生的數學模型叫做抽屜原理；轉盤游戲的評判與設計的關鍵就是建立概率模型；測量不可到達的兩點之間的距離，就是通過建立數學模型解決實際問題的典型例子.……

事實上，數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的.如各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，就是一些具體的數學模型.從這個意義上來說，數學教學實際上就是教給學生前人構建的一個一個的數學模型，逐步形成建立數學模型的觀念.

前面所列舉的案例3中的“握手次數問題”，通過教師創設的一系列問題，最后得到一個握手次數y與同學人數n之間的一個函數關系式S=12n2-12n.這就是人數n與握手次數y之間的一個數學模型，有了這個數學模型，握手問題就不難解決了.

數學觀念是在基礎知識的學習、基本技能的訓練、數學綜合能力的提高等過程中逐漸形成和發展的.所以培養和發展學生數學觀念是一個系統工程，培養的途徑遠不止上面這些.希望老師們深入研究《課標2011年版》和相關的教育理論研究成果，努力探討一些新的有效的教學途徑，共同為培養學生的數學觀念，從而提高學生的整體素質，作出我們應有的貢獻.

參考文獻

[1]李樹臣.數學教學中應強化的幾種數學觀念[J].中學數學雜志，2014（6）：11.endprint