切中肯綮，讓常態復習課不“常態”*

■江蘇省天一中學　孫承輝

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切中肯綮，讓常態復習課不“常態”*

■江蘇省天一中學孫承輝

*本文是江蘇省無錫市教育科學“十二五”立項課題“高中數學教師專業能力提升的有效策略研究”（課題編號C/D/2014/001）的階段研究成果．

一、問題的提出

高三數學復習課的重點是對基礎知識、基本技能及基本思想方法進行系統梳理，幫助學生夯實基礎和構建知識體系，提升學生解決問題的能力．正是基于這樣的認識，筆者所在學校創設了“常態課”教學研討系列活動．

從高三一輪復習開始，學校的常態課按照“確定課題、自主備課、課堂展示、深入研討”的流程運行，筆者虛心學習了備課組內許多老師開設的常態課，收獲良多，故而結合一些案例，汲取其中精華，提煉出使常態復習課不“常態”的若干切中肯綮之舉，以期與同行探討交流．

二、常態課不“常態”的若干策略

（一）精心梳理知識要點，讓知識結構網絡化

一輪復習課的特點之一就是教師要對學過的基本概念、定義和公式等數學知識進行全面地梳理，將知識進行系統化整理．知識梳理的方式有很多，如教師口頭講述，或師生一問一答，或學生課前主動回憶，等等．顯然，不同的梳理方式也將產生不同的教學結果．

案例1借助導學案梳理課本知識

L老師布置學生在課前仔細閱讀教科書，并完成導學案上的以下內容：

（1）兩個非零向量的夾角的定義：_________，向量夾角的取值范圍：_________．

（2）平面向量數量積的定義、坐標表示及性質：

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角．

幾何表示　坐標表示數量積　a·b=_________　a·b=_________ 模|a|=_________　|a|=_________夾角　cosθ=_________　cosθ=_________ a⊥b　_________　_________

（3）平面向量數量積的運算律：

①交換律：_________；②數乘結合律：_________；③分配律：_________．

教學過程中，L老師用實物投影儀展示某個學生的填寫情況，逐條講解知識要點，在復習兩個非零向量的夾角的定義時他結合所畫圖形強調“將兩向量平移使得它們的起點相同”，學生們在導學案上及時修改錯誤的填寫內容并做筆記．

評析：L老師在知識梳理階段注重回歸課本，讓學生帶著問題去閱讀教科書并主動尋找答案．在內容的展現形式上，他用簡明的圖表把“平面向量的數量積”的基礎知識進行有機的串聯，同時突出了數量積的幾何表示和坐標表示的區別與聯系，可謂簡明扼要．

因此，教師只有立足教材，緊扣考試說明，做到知識梳理的系統化、具體化，才能幫助學生建構清晰的知識網絡，也才能讓學生對知識做到真正的融會貫通．當然，知識梳理的方式多種多樣，教師在具體操作時應根據教學內容做到靈活多變．

（二）注重通性通法教學，讓解題思路自然化

高三復習課離不開解題教學，不可否認，有些課過于注重例題和習題的數量，認為所講題目越多覆蓋面越廣，或者過于注重解題的技巧，認為這些新穎的技巧會大大增加學生的解題能力．然而，隨著題目數量增大、技巧增強，不少學生在遇到新題目時會感到猶豫不定，無從下手，反而失去了解題的信心.所以，在復習課上教師應該精選例題，側重通性通法的教學，授之以最具實效價值的“漁”.

案例2圓錐曲線中離心率的求值（或范圍）問題

首先，G老師投影了以下兩道填空題：

圖1

然后，G老師畫圖，請學生說出解題思路和過程，邊分析邊求解.以第（2）小題為例，學生對“等腰△PQM的頂角∠PMQ＞90°”提出了多種轉化方式，如MP2+MQ2＜PQ2，等.經過分析比較，最終選擇了取線段PQ的中點A（如圖1所示），由∠PMQ＞ 90°可知，∠AMQ＞45°，故在Rt△MAQ中，即又b2=a2-c2，因此，即1＜0，結合e∈（0，1），解得

最后，G老師歸納：①求圓錐曲線離心率e的值，關鍵是找到參數a，b，c之間的等量關系，最后解方程求出e的值；②求圓錐曲線離心率e的取值范圍，關鍵是找到參數a，b，c之間的不等關系，最后解不等式求出e的取值范圍.

評析：圓錐曲線的離心率問題一直是考試的熱點題型，教師選擇了兩道典型的填空題，在師生互動中展示了題目的分析和求解過程，重點研究如何從圖形中挖掘幾何元素的關系，以及如何對題目中的條件進行轉化，從而建立恰當的等式或不等式.比如第（2）小題，解決本題的核心是要將等腰△PQM的頂角∠PMQ＞90°轉化為∠AMQ＞45°，從而在直角△AMQ中，建立起直角邊MA和斜邊MQ之間的不等關系

“通性通法是指解決具有相同性質數學問題所用的通用方法.”“通性通法是數學發展的基石，是數學教育的核心，是數學學習的主要內容之一.”［1］因此，高三的復習課要通過對典型例題的剖析來體現解決某一類問題的通性通法，也可以將若干個相關問題構成微專題，簡潔明了地展現解決問題的知識鏈和方法鏈.

（三）適度開展變式教學，讓思維能力全面化

高三復習課開展變式教學主要是把常見的題型作一些適當的變化，在變與不變的差異中對題型的本質獲得清晰的認識，同時讓學生對基礎知識和通性通法有更深層次的思考.從實際效果來看，適度的變式教學可以充分激發學生的學習興趣和熱情，讓學生的思維能力得到全面發展，也能有效地幫助學生積累解決問題的經驗以及增強解決其他問題的信心.

案例3任意性與存在性問題的分類解析

W老師先給出一道例題：

解答完例題后，W老師給出了以下變式題：

①若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數a的取值范圍是_________.

②若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數a的取值范圍是_________.

③若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數a的取值范圍是_________.

④若?x1∈［0，1］，?x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數a的取值范圍是_________.

然后回顧了這類任意性與存在性問題的題型與轉化方法：設函數f（x）、g（x）在給定范圍內都存在最大值與最小值，值域分別為A與B.

①?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等價于_____.

②?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等價于_____.

③?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

④?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

⑤?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等價于_____.

……

最后，W老師布置了一道思考題留給學生課后探究：

評析：任意性和存在性問題是近幾年高考的熱點問題，這類題型富于變化和新意，解決之道是揭開全稱量詞和存在性量詞的神秘面紗，還原問題的本來面目．在上述案例中，W老師從一道典型例題出發，重點剖析其解法要點，然后一題四變，在變式題的解答過程中揭示了這類問題的解題規律，即轉化為比較兩個函數的最值之間的大小關系．W老師布置的課后探究題是本節課內容的拓展和延伸，有助于學生進一步加深對這類問題的理解程度．

由此可見，在變式教學過程中，教師要通過若干道變式題，以點帶面，著重分析題與題之間的差異，以及這些差異所導致的解題方法的變化，讓學生學會去甄別，從而全面地認識題型的本質．同時，教師要充分利用課堂的黃金時間，開展深層次的師生對話和生生互動，找準解決變式題的切入點，這樣可以提高學生分析問題的能力，同時從時間和空間上提升課堂教學的品質．

當然，實施變式教學時要厘清核心主線，變式題切忌廣而散，因此，教師在課前“必須厘清楚過程的‘序’，使得教學主線有明確的方向，避免課堂上過多地發散，使學生思維發生混亂，從而發生迷失現象．”［2］

（四）積極滲透思想方法，讓數學素養優質化

數學思想方法是數學的靈魂．高三復習課不僅要注重師生對例題的探究與互動，也要注重合理滲透思想方法，培養學生的數學素養和創新思維．教師可以安排適當有度的綜合題目，這里的“適當有度”指的是題量適當、難度適中、有一定的思維深度，這些練習題一方面可以反饋學生對知識的理解運用程度，另一方面也可以拓展學生的思維能力，感悟數學思想方法在解題中的應用．

案例4講評綜合卷的教學片段

在講評一份綜合卷時，S老師把下列兩道錯誤率較高的試題一起講解．

（試卷第9題）已知數列{an}的通項公式為若對任意n∈N*，都有an≥a3，則實數c的取值范圍是_________．

（試卷第13題）已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，向量c滿足（a－c）·（b－c）=0，則|c|的最大值為_________．

講評過程中，S老師請學生說解題時的想法、思路，

然后在師生的共同分析下，完善了上述兩道題的解答過程．然后，S老師指出，解決它們的關鍵是熟練運用數形結合思想，即根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題．最后，通過以下一道練習題來加以鞏固和反饋：已知數列{bn}的通項公式為bn=，若對任意n∈N*，都有bn≥b8，則實數a的取值范圍是_________．

評析：S老師在試卷講評課上體現了講練結合，這樣可以及時了解學生對知識的掌握情況，由于選例恰當，學生在個別題目的解法上出現了一題多解，這時S老師把這些解法進行對比，實現一題優解．在諸多解法中，他尤其突出了數形結合的思想，即通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化．而且，S老師在解決向量模的取值范圍這類綜合問題中突出了數形結合、等價轉化、等數學思想方法，這讓學生體會到思想方法在解決問題過程中的價值．

難能可貴的是，教師在試卷講評前對錯誤率較高的題目進行集中歸類，尤其是把相同數學思想方法的試題合并串講，“便于學生對這一塊知識或某個方法產生強烈感受，對某個方面起到強化的功能．”［3］從數學思想方法的角度將相關題目連珠成線，這不僅提高了講評課的教學效率，而且極大地加深了學生思維的深刻性，有助于促進學生將知識轉化為自身的數學能力和綜合素養．

三、結束語

高三的復習課只要堅持以教師為主導、學生為主體，在精編導學案的前提下，采取富有實效的知識梳理策略，突出通性通法教學，適度開展變式教學，積極合理地滲透思想方法，高屋建瓴，就能高效地突出重點、化解難點，充分培養學生提出問題和解決問題的綜合能力，這些便是讓高三常態復習課不“常態”的舉措．

參考文獻：

1.王金才．數學思想、數學方法和數學能力及關系的正確認識［J］．數學通報，2011（11）．

2.李善良．理清核心主線優化教學過程［J］．中學數學月刊，2011（10）．

3.孫福明．試卷講評要貼“生”進行［J］．數學通報，2012（4）．Y