探究特殊與一般思想在高考中的應用

■甘肅省張掖市實驗中學　王新宏

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探究特殊與一般思想在高考中的應用

■甘肅省張掖市實驗中學王新宏

*本文為甘肅省教育科學“十二五”規劃2013年度課題《新課改理念下高三數學復習高效策略研究》（課題批準號GS【2013】GHB0771）的成果.

綜觀近幾年的全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ、北京卷、浙江卷、湖北卷、福建卷等的最后一道（或幾道）選擇題或最后一道填空題，不難發現，這些把關題體現特殊與一般數學思想，這些試題集中考查了考生獨立思考、自主探究的能力，很好地區分了考生的數學素養與思維品質，以及今后學習數學的潛質，既充分體現了考生的知識技能和思維方法，也給靈活多變的思維，收放自如的想象留下了更大的發揮空間.所以無論是教者還是學者，都應重視這些問題中蘊含的解題思想，在日常的教與學中注意訓練、培養相應的能力.

數學思想方法的考查是對考生的數學知識更高層次上的考查，特殊與一般思想是課標課程高考課程的七大數學思想之一，考查時必然以數學知識為載體，來反映考生的數學思想方法的掌握程度.具體來說，高考數學中對它的考查方式主要有：通過尋求特殊值、特殊點、特殊數列、特殊的位置關系等來研究解決不確定問題、運動變化問題、抽象問題等.

辯證法告訴我們：矛盾的特殊性寓于一般性之中.相對于一般情形而言，特殊的事物往往顯得簡單、直觀、具體、形象，并被人們所熟知.解題時若能注意到問題的特殊性，進而分析考慮有無可能把待解決問題轉化為特殊問題或極端情形，不僅是可行的，而且會事半功倍.

一、特殊化思想PK一般化思想

在一些高考的把關小題上，既能用一般化的數學思想方法解決，又能用特殊化的數學思想方法解決，但一般性解決時，要么思維上難，要么運算上繁，考生較難找到解決問題的切入點，浪費了寶貴的時間，效率低下，反之若用特殊化數學思想解題，則有效地降低了思維的難度和運算量，效率又高，下面請讀者自己辨別、思考、領悟.

1.在函數問題中PK

在求參數范圍、函數圖像等函數問題中，命題者精心策劃，刻意安排考查特殊與一般的數學思想，看你能否想到通過構造特殊函數、尋找特殊點、特殊值來解決這類問題.

例1（2015年全國Ⅰ卷理科第12題）設函數f（x）= ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）.

解析1（一般化思想）：設g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a.由題意知，存在唯一的整數x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方.因為g′（x）=ex（2x+1），所以當時，g′（x）＜0；當時，g′（x）＞0，所以當時，［g（x）］min=作出g（x）與h（x）的大致圖像如圖1所示，故即a＜1，故選D.

圖1

點評：考生能由f（x0）＜0能恰當構造函數的有多少？能畫出函數草圖的又有多少？

解析2（特殊點）：仔細觀察可發現f（0）=a-1＜0，所以由題意知，x0=0，則得，結合已知得≤a＜1.故選D.

點評：只要分析出x0=0，問題也就隨之破解；數學不是缺少美，而是缺少發現美的智慧.

解析3（特殊值）：根據選項，可以采取特殊值代入驗證，從而甄別出正確答案.當a=0時，f（x）=ex（2x-1），f′（x） =ex（2x+1），則f（x）在）遞減，在遞增，又f（0）=-1＜0，f（-1）=-3e-1＜0，不符合題意，故a=0不成立，排除答案A，B；當時，因為為增函數，且所以存在t∈（-1，0），使得f′（t）=0，則f（x）在（-∞，t）遞減，在（t，+∞）遞增，又故存在唯一的整數0，使得f（0）＜0，即滿足題意，排除答案C，選D.

點評：特例排除法是解決一般化思想做不出來或不好做而常用的行之有效的一種解題方法，但相當一部分學生缺乏利用它來解題的意識，不是他做不到，主要是他想不到.

例2（2015年全國卷Ⅱ理科第10題）如圖2，長方形ABCD的邊AB= 2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x.將動P 到A、B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則y=f（x）的圖像大致為（）.

解析1（一般化思想）：由已知得，當點P在BC邊上運動時，即時當點P在 CD邊上運動時，即時，PA+PB=當時，PA+PB=當點P在AD邊上運動時，即時，PA+從點P的運動過程可以看出，軌跡關于直線對稱，且，且由解析式可知，軌跡為非線性.故選B.

點評：煩瑣，小題大做，浪費了寶貴的時間.

點評：小題要巧做，贏得時間就是你贏得高分的保證.

2.在三角函數問題中PK

一些四邊形中的三角函數問題或是涉及到三角函數的圖像問題，難以找到解決問題的切入口，可通過構造滿足題意的特殊三角形，讓問題的實質原型暴露出來，或是繪出滿足題意的一個特殊的三角函數圖像，借助圖像的直觀性，快速準確地解決此類問題.

例3（2015年全國卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_________.

解析1（一般化思想）：如圖3所示，連接AC，設∠BAC=α，則∠ACB=105°-α.在△ABC中，

圖3

點評：填空題末題，切入難，運算繁，區分度強.

解析2（特殊圖形）：如圖4所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得；平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，即，解得.所以AB的取值范圍是

圖2

圖4

點評：不怕你做不到，就怕你想不到；善于通過聯想，把所求知識與自己所掌握知識恰當融合，是一種數學能力的體現.

例4（2014年北京卷理科第14題）設函數f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區間上具有單調性，且，則f（x）的最小正周期為________.

解析2（特殊圖形）：畫出滿足題意的一個草圖如圖5所示，設f（x）的最小正周期為T，則，即T≥，所以，即T=π.

圖5

點評：此題大部分學生缺乏找“特殊圖形”的意識，所以很難優質高效地解決此題；通過長時間的教育教學，我們發現數學成績優異的學生與普通學生相比，差別主要有兩點，第一，會不會合理地將問題等價轉化為熟悉的問題來解決；第二，會不會運用數形結合的思想方法解題.

3.在數列問題中PK

一些高考數列問題，表面看起來比較抽象、復雜，很難下手，如果使問題退化到最為簡單的“原始”特殊數列就可化抽象為具體，變復雜為簡單，問題也就迎刃而解了，總之，以退為進，退到一個能夠下手處理的位置，從而達到解決一般問題的目的，可謂“退一步海闊天空”.

例5（2015年湖北卷理科第5題）設a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，a3，…，an成等比數列；q：，則（）.

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

解析1（一般化思想）：對命題p：a1，a2，…，an成等比數列，則公比a且an≠0.

對命題q，①當an=0時成立；

②當an≠0時，根據柯西不等式，等式成立，則所以成等比數列.

所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件.

點評：考生能聯想到柯西不等式的有多少？能想到柯西不等式取“=”的條件的又有多少？

解析2（特殊數列）：取大家最熟悉的等比數列an=2n，代入q命題（不妨讓n=3）滿足，再取an=3n代入q命題（不妨讓n=3）也滿足，反之取a1=a2=a3=…=an=0，滿足q命題，但不滿足p命題，故是的充分條件，但不是的必要條件.

點評：這類題，一般的方法很難解決，但特殊數列法思路簡單，運算直接明了，簡單就是數學的一種美.能得分的方法都是好方法，取特例時，越簡單越熟悉越好.

4.在立體幾何問題中PK

立體幾何中有關運動變化的點（或圖形）的問題，?？紤]極限位置，特殊化處理，往往收到意想不到的效果，真叫人拍案叫絕，連聲叫好.

例6（2015年浙江卷理科第8題）如圖6，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

圖6

圖7

解析1（一般化思想）：如圖7所示，設∠ADC=θ，AB=2，則有題意知，AD=BD=A′D=1.在空間圖形中，連接A′B，設A′B=t，在△A′DB中，過A′作A′N⊥DC，過B作BM⊥DC，垂足分別為N、M，過N作NP∥=MB，使四邊形BPNM為矩形，則NP⊥DC，連接A′P，BP，則∠A′NP就是二面角A′－CD－B的平面角.所以∠A′NP=α，在Rt△A′ND中，DN=A′Dcos∠A′DC=cosθ，A′N=A′Dsin∠A′DC=sinθ.同理，BM=PN=sinθ，DM=cosθ，故BP=MN=2cosθ，顯然BP⊥平面A′NP，故BP⊥A′P.

在Rt△A′BP中，A′P2=A′B2－BP2=t2－（2cosθ）2=t2－4cosθ2，

點評：太煩瑣了，這絕不是命題者的初衷，更不是數學的追求，根本無法體現數學的美與精神.

解析2（極限位置）：若CA≠CB，則當α=π時，∠A′CB＜π，排除D；當α=0時，∠A′CB＞0，∠A′DB＞0，可排除A、C，故選B.

點評：大浪淘沙始見金，想得越深刻，思考得越開放，方法就越簡單，越能體現數學的美與精神.

5.在圓或圓錐曲線問題中PK

一些有關圓與直線或圓錐曲線與直線的問題中，總讓人有蒙著一層神秘的面紗，或是霧里看花的感覺，題目中點多，未知的量較多，運動的點也較多，如何透過層層迷霧，摘掉它的神秘面紗，這就需要用特殊化思想找到特殊的點（或線、曲線），從而迅速破解問題.

例7（2014年湖北卷文科第17題）已知圓O：x2+y2=1和點，若定點B（b，0）（b≠－2）和常數λ滿足：對圓O上任意一點，都有|MB|=λ|MA|，則：

（Ⅰ）b=_________；（Ⅱ）λ=_________.

解析1（一般化思想）：設M（x，y），則x2+y2=1，y2=1－x2，因為λ為常數，所以，解得或b=－2（舍），所以，解得或（舍）.故

解析2（三角換元）：在圓O上任意取一點M（cosθ，sinθ），則由|MB|=λ|MA|可得整理得1+b2－5λ2－（2b+4λ2）cosθ=0，即解得

解析3（特殊點）：既然對圓O上任意一點，都有|MB|= λ|MA|，使得λ與b為常數，那么我們何不把點取為特殊點呢？取M（1，0）與M（0，1）代入|MB|=λ|MA|得：解得

點評：大部分考生想不到特例法，主要原因是他們對特殊與一般的數學思想理解得不夠深刻，不夠到位，再加上平時訓練的又較少甚至沒有，故想不到簡便的解題策略.

6.在抽象函數問題中PK

在抽象函數中，只有根據具體情況巧妙賦值，方可化“腐朽”為“神奇”.

例8（2015年福建卷理科第10題）若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=-1，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結論中一定錯誤的是（）.

解析1（一般化思想）：由已知條件，構造函數g（x）= f（x）－kx，則g′（x）=f′（x）－k＞0，故函數g（x）=f（x）－kx在R上單調遞增，且，故所以故結論中一定錯誤的是C；選項D不確定；構造函數h（x）=f（x）－x，則h′（x）=f′（x）－1＞0，所以函數h（x）=f（x）－x在R上單調遞增，且故所以選項A，B無法判斷，故選C.

解析2（特殊函數）：令f（x）=2.1x－1，且k=2，則，所以A正確；令f（x）=6x－1，且k=2，則1，所以B正確，f（1）=5＞2，所以D正確；C錯誤.

二、有直接法可用嗎

在用坐標法求解的向量問題，大多數抽象函數問題，不確定函數問題，某些數列性質的探究問題，不是不想用一般化思想方法解題，而是有一般化思想方法可用嗎？

A.13B.15C.19D.21

解析：建立如圖8所示的平面直角坐標系，畫滿足題意的一個草圖，所以所以（當且僅當，即時取等號），所以的最大值為13，故選A.

圖8

點評：坐標化是處理平面向量問題最簡單，最有效的方法.

三、特例探路，結合演繹推理得出一般結論

由特殊探路，讓合情推理與演繹推理協同作戰來解決一般性問題，解題的過程就會層次分明，顯得非常優美，提高了數學思維的流暢性，這也是數學中特殊與一般思想的重要體現.

例10（2014年新課標全國卷Ⅱ理科第16題）設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是________.

圖9

解析：如圖9，點M（x0，1）在直線y=1上，且y=1與圓O：x2+y2=1相切于點M（0，1），此時圓O：x2+y2=1上存在點N（1，0）或N（-1，0），使得∠OMN= 45°；當點M為（-1，1）或（1，1）時，作圓O的切線，得切點為N（1，0）或N（-1，0），使得∠OMN=45°，滿足題意；故當M（x0，1）中的-1＜x0＜1時，過點M（x0，1）作圓O的切線，切點為點N′，則∠OMN′＞45°，所以在圓O上存在點N，使得∠OMN= 45°；若x0＜-1或x0＞1時，過點M（x0，1）作圓O的切線，切點為點N′，則∠OMN′＜45°，所以在圓O上不存在點N，使得∠OMN=45°.

綜上：-1≤x0≤1.

點評：本題數形結合將一般問題特殊化，將不熟悉的問題等價轉化為熟悉的問題，合理分析，推敲得出答案，設計質樸，但思維發散，不容易找到切入點與臨界點，很好的測試了考生的數學素養與學習潛能.

四、鞏固練習

高考中像這樣運用特殊化思想解決一般性問題的機遇多嗎？要知道高考命題者出于試卷的“信度”和“效度”的需求，不會用十分古怪的問題來刁難考生，所以這樣的機遇還是不少的，關鍵是你能否敏銳地發現它，捕捉它，然后利用特殊化思想解決它.

2.（2015年全國Ⅱ卷文科第12題）設函數f（x）=ln（1+，則使得成立的的取值范圍是（）.

3.（2015年浙江卷文科第6題）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是（）.

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

4.（2015年湖北理科第8題）將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b（a≠b）同時增加m（m＞0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）.

A.對任意的a，b，e1＞e2

B.當a＞b時，e1＞e2；當a＜b時，e1＜e2

C.對任意的a，b，e1＜e2

D.當a＞b時，e1＜e2；當a＜b時，e1＞e2

答案：1.C2.A3.B4.D

參考文獻：

1.童其林.特殊與一般思想在解題中的運用［J］.中國數學教育，2013（3）.

2.朱日華．特殊與一般思想在解填空題中的應用［J］.中學數學月刊，2012（10）.

3.倪富春．特例法在解選擇題中的妙用［J］.中學數學（上），2014（3）.