高一數學測試

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○課外測試○

高一數學測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.函數y=ln(x+1)的定義域是______.

4.已知變量x,y滿足

則z=x-y的最小值為______.

5.已知等比數列{an}的前n項和Sn=3n+a,則a=______.

10.已知數列{an}的通項公式為an=n2-2an(n∈N*),且當n≠4時,an>a4,則實數a的取值范圍是______.

12.已知l,m,n為兩兩不重合的直線,α,β,γ為兩兩不重合的平面,給出下列4個命題:

① 若α∥β,l?α,則l∥β;

② 若α⊥γ,β⊥γ,則α⊥β;

③ 若m?α,n?α,m∥n,則m∥α;

④ 若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β.

其中命題正確的是______.(寫出所有正確結論的序號)

14.已知函數f(x)=ex,對于實數m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),則p的最大值是______.

二、解答題(本大題共6道題,計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知等差數列{an}中,a3=8,a6=17.

(1) 求a1,d;

(2) 設bn=an+2n-1,求數列{bn}的前n項和Sn.

16.(本小題滿分14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點.

(1) 若E為B1C1的中點,求證:BE∥平面AC1D;

(2) 若平面B1BCC1⊥平面ABC,且AB=AC,求證:平面AC1D⊥平面B1BCC1.

(1) 求sin 2α的值;

(2) 求β的大小.

(1) 求B的大小;

(3) 若b=6,求?ABC面積的最大值.

19.(本小題滿分16分)如圖,是一塊足球訓練場地,其中球門AB寬7米,B點位置的門柱距離邊線EF的長為21米,現在有一球員在該訓練場地進行直線跑動中的射門訓練.球員從離底線AF距離x(x≥10)米,離邊線EF距離a(7≤a≤14)米的C處開始跑動,跑動線路為CD(CD∥EF),設射門角度∠ACB=θ.

(1) 若a=14,

① 當球員離底線的距離x=14時,求tanθ的值;

② 問球員離底線的距離為多少時,射門角度θ最大?

20.(本小題滿分16分)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an-3(-1)n(n∈N*).

(1) 若bn=a2n-1,求證:bn+1=4bn;

(2) 求數列{an}的通項公式;

(3) 若a1+2a2+3a3+…+nan>λ·2n對一切正整數n恒成立,求實數λ的取值范圍.

參考答案

一、填空題

4.-2；5.-1；6.48；7.9；

二、解答題

a1=2,d=3.

(2) 由(1)可得an=3n-1,

所以bn=3n-1+2n-1,

16.(1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,

D是BC的中點,E為B1C1的中點,

又BE?平面AC1D,DC1?平面AC1D，

所以BE∥平面AC1D.

(2) 因為在?ABC中,D是BC的中點,且AB=AC,所以AD⊥BC.

因為平面B1BCC1⊥平面ABC,AD?平面ABC,

平面B1BCC1∩平面ABC=BC,

所以AD⊥平面B1BCC1.

又AD?平面AC1D,所以平面AC1D⊥平面B1BCC1.

所以cosβ=cos[α-(α-β)]

∵b2=a2+c2-2accos B，

∴49=(a+c)2-ac,

∴a+c=8.

(3)∵b2=a2+c2-2accos B，

∴36=a2+c2+ac≥2ac+ac,

19.在?ACD中,設∠ACD=α,則

在?BCD中,設∠BCD=β,則

所以tanθ=tan(α-β)

(1) 當a=14時,AD=14,BD=7.

① 若x=14,則

所以當x=10時射門角度θ最大.

(2) AD=28-a,BD=21-a,

則-x2+21x=a2-49a+28×21.

因為7≤a≤14，所以

98≤a2-49a+28×21≤294,

則98≤-x2+21x≤294,

解得7≤x≤14.

又x≥10,所以10≤x≤14，

所以x的取值范圍是[10,14].

②當球員離底線的距離為10時，射門角度θ最大;

20.(1)bn+1=a2n+2-1

=2a2n+1-3(-1)2n+1-1

=2a2n+1+2

=4a2n-6(-1)2n+2

=4a2n-4=4bn.

(2)a2=2a1-3(-1)=5,

b1=a2-1=4.

所以{bn}是等比數列，

所以bn=4n=a2n-1.

a2n=4n+1=22n+1,

a2n=a2n-1+3=22n+1,

a2n-1=22n-1-1.

即an=2n+(-1)n.

(3)由(2)有nan=n·2n+(-1)n·n,

所以Sn=a1+2a2+3a3+…+nan

=(1·21)+(2·22+2)+…

+(n·2n+(-1)n·n)

=(1·21+2·22+…+n·2n)

+(-1+2-3+…+(-1)n·n).

令S=1·21+2·22+…+n·2n，則

2S=1·22+2·23+…

+(n-1)·2n+n·2n+1.

相減得-S=21+22+…+2n-n·2n+1

∴S=(n-1)·2n+1+2.

當n為奇數時，

T=-1+2-3+…+(-1)n·n

當n為偶數時，

所以當n為奇數時，

Sn=S+T

當n為偶數時，

Sn=S+T