數學學科核心素養的結構及其教學意義

寧 銳李昌勇羅宗緒

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數學學科核心素養的結構及其教學意義

寧 銳1，2，李昌勇2，羅宗緒3

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241； 2．四川師范大學 數學科學學院，四川 成都 610068；3．成都雙流中學實驗學校，四川 成都 610200 ）

針對《高中數學課程標準（2017年版）》提出的數學學科核心素養的定義以及6大數學學科核心素養，建立了一個數學核心素養的結構模型．將6大核心素養分為3組，視為從低到高的3個層面：數學思維素養（包括直觀想象和數學抽象），數學方法素養（包括數學運算和邏輯推理）和數學工具素養（包括數據分析和數學建模），反映了從數學知識學習到數學應用的數學素養發展過程．將數學學科核心素養定義中的思維品質、關鍵能力和數學情意（包括情感、態度和價值觀）視為核心素養的3種成分貫穿于3個層面中，從而形成了一個數學素養結構模型．在這個結構模型的基礎上，進一步討論3種教學形式：知識教學、解題教學和問題解決教學，分別對應不同層面數學素養發展的焦點．

數學學科核心素養；結構模型；思維素養；方法素養；工具素養

2018年1月《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《數學課標（2017）》）出版，正式公布了數學學科核心素養的概念及6大核心素養．這是在落實“十八大”提出“立德樹人”的教育根本任務，以及教育部2014年發布《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》[1]的背景下，以高中課程標準修訂為契機對整個數學教育深化改革所進行的頂層設計．從這一角度來看，數學學科核心素養及其內容就不應僅僅看成是針對高中數學課程改革，更應該看成整體數學教育改革的新指向．那么，怎樣理解數學學科核心素養的內涵及其關系，以及怎樣在數學學科核心素養視角下建構數學教學目標，就成為數學教育改革實踐的重要議題．

1 數學學科核心素養的結構

1.1 數學學科核心素養結構的來源

《數學課標（2017）》定義了數學學科核心素養是“具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現”，提出了6大數學學科核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算，數據分析．課標分別闡釋了6大核心素養的內涵，并指出這些數學學科核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機整體[2]．但課標并沒有進一步闡釋它們之間的關系．怎樣把握6大核心素養之間的關系呢？史寧中提出數學學科核心素養的本質就是“三會”[1]，即會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界．“三會”具體化形成了6大核心素養：數學眼光表現為數學抽象和直觀想象；數學思維思考表現為邏輯推理與數學運算；數學建模和數據分析則可以看成是數學語言．這在一定意義上可以理解為對6種核心素養的分類，進一步將其理解為核心素養的3個層面，并就數學學科核心素養的定義的幾個方面形成了一定的結構．

1.2 數學學科核心素養結構的模型構建

將6大核心素養分成3組：直觀想象，數學抽象；數學運算，邏輯推理；數據分析，數學建模．分別稱之為：數學思維素養，數學方法素養，數學工具素養．這3組素養形成數學學科核心素養的3個層面．這主要基于如下理解：直觀想象和數學抽象看成是數學思維的兩種基本形式，體現了認識事物和理解數學的思維特征，因而稱之為數學思維素養．數學運算和邏輯推理看成是數學思維的基本方式，體現了建構和推演數學，以及運用數學知識來解決問題的方法特征，因而稱之為數學方法素養．數據分析和數學建?？闯墒沁\用數學知識和方法來解決問題的基本途徑，具有工具性特征，因而稱之為數學工具素養．它們分別構成了數學學科核心素養的3個層面：數學思維素養是基礎層面的素養，是按照數學方式來認識事物和理解數學的思維品質，體現了“會用數學眼光來觀察世界”的思維性目標．數學方法素養是中間層面的素養，是在數學思維素養基礎上發展起來的更具有數學方法特征的素養，學生只有掌握了數學運算和邏輯推理方法，才能真正培養起數學關鍵能力，體現出“用數學思維來思考世界”的方法性目標．數學工具素養是上層的素養，是運用數學知識和方法向外解決問題的素養，這不僅要求學生具有良好的數學思維和數學方法素養，而且需要學生具有積極的數學態度、應用意識和創新觀念等數學情意特征，體現了“用數學語言來表達世界”的工具性目標．

依據上述理解，把數學學科核心素養定義中的3種成分與6大學科核心素養建立關聯，構建了一個數學學科核心素養結構圖，如圖1所示．圖1是由一個平面圖表現的立體結構．橫向的3列看成是數學學科核心素養的3種成分，指向數學學科核心素養基本定義中3個方面：（具有數學基本特征的）思維品質、關鍵能力和以及情感、態度與價值觀（概括為“數學情意”）的綜合體現．這里用虛線區分只是為了分析性地顯示出它們的存在，實際上它們相互融合構成數學學科核心素養的“體”，學生完成任何數學活動和任務時3種成分通常是綜合地起作用．這個“體”在縱向上由3個層面構成，分別為：思維素養、方法素養、工具素養，每個層面包括了兩種數學學科核心素養．這里用實線區分，表示它們分界相對清晰，并且發展過程有一定的層次關系，但在同一數學活動中3個層面又常常同時得以發展．

從圖1的內在特征來看，3個層面上的數學素養都包含了3種成分．反過來，不同成分也體現在不同層面的素養中．但在不同的層面數學學科核心素養的3種成分表現的分量有所不同：在數學思維層面，思維品質成分表現更為突出；在數學方法層面，關鍵能力表現更為突出；而在數學工具層面，數學情意成分更為突出．這種不同層面數學素養成分的傾向性用圖1中對角線方塊陰影來突出表示．

2 數學學科核心素養3大層面內涵及要素關系

在圖1結構中，每一個層面都包含了兩種核心素養，這兩種素養為什么放在一起構成一個層面，它們之間有什么關系，這是理解這個結構的關鍵．

圖1 數學學科核心素養結構

2.1 數學思維素養及要素關系

數學是研究數學關系和空間形式的科學，因此從數量關系和空間形式來認識、刻畫事物的特征，反映和表達事物的關系及變化規律就是具有數學特征的思維活動．于是，數學思維素養的內涵就是指人能夠從數量關系和空間形式來感知和認識事物的特征、關系和變化規律，形成數學概念與命題，并用數學概念和命題來表達事物的特征、關系和變化規律的思維特征．數學思維素養集中表現為兩種數學核心素養：直觀想象和數學抽象．

《數學課標（2017）》指出：直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養．可見，直觀想象體現了形象化特征的數學思維．事實上，具有這種特征的思維形式不僅僅存在于幾何學習中，而是存在于普遍性的數學思維中，即數學直觀．張廣祥等區分了幾何直觀和代數直觀，并且將后者稱為“模式直觀”，并認為模式直觀是培養代數想象力的基礎[3]．模式直觀是人們對事物之間邏輯關系的一種比較直接、形象的推斷和理解．除了數學直觀外，數學抽象是數學活動中普遍存在的另一種思維形式．史寧中指出：數學的研究源于現實世界的抽象，通過抽象得到了數學的研究對象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等數學方法，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律[1]．因此，《數學課標（2017）》把數學抽象素養定義為：通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養．不僅表現為通過抽象得到數學概念與關系，數學規律與結構，而且還表現為用數學語言予以表征．與直觀相對，數學抽象體現了從形式化和結構化角度認識事物的數學思維特征．

直觀想象與數學抽象有相對立的一面，但也是統一的．“直觀想象是實現數學抽象的思維基礎”[1]，即在對數學對象進行數學抽象之前，往往通過直觀想象的方式來感知和理解事物及其規律，然后通過數學抽象來形成數學概念、數學法則或命題．另一方面，通過數學抽象人們又能更加深刻地把握和理解數學概念和規律的實質．比如，通過對具體函數特征的歸納和概括，并利用集合語言來描述更加抽象的函數概念，實質上是更深刻地理解了函數概念的實質．可以說，直觀想象是數學抽象的基礎，數學抽象是直觀想象的發展．因此，數學直觀與數學抽象這兩大核心素養是辯證統一地存在于認識事物和數學對象的學習過程中，是數學思維發展過程中的兩種最基本的素養．

2.2 數學方法素養及要素關系

從歷史上看，算法與演繹是數學發展的兩種基本方法．李文林認為數學發展的總體過程“呈現出算法傾向與演繹傾向交替繁榮的螺旋式上升過程”[4]．數學運算是根植于數學發展過程中“算法”傳統，而邏輯推理則體現了“演繹”傳統，它們都是數學運演的基本范式．因此，數學運算和邏輯推理作為數學學科核心素養有著深厚的數學傳統基礎，也有著鮮明的數學方法特征．于是從這個角度來定義數學方法素養：指具有建構和組織數學對象及其結構，運用數學知識來解決問題的數學范式的思維特征．基本的數學范式有兩種：一是按照數學公式法則和程序進行運算，即數學運算；二是按照數學命題之間邏輯關系進行推理，即邏輯推理．

《數學課標（2017）》指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決問題的素養．從數學學習過程來看，這一素養的形成常常經歷了理解運算對象、形成運算法則、理解算理、選擇和設計算法（運算方法與程序）、求得運算結果的全過程．在高級階段需要理解數學運算中的程序化思想，以及構造運算程序，利用計算機來解決問題的能力．這一過程主要體現出歸納思維和算法思維．與之相對，邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據原理或已證明的命題推出其它命題的素養．在學習過程中，邏輯推理素養主要經歷：發現和理解事物中的數量關系或圖形性質，建立數量關系或圖形性質之間的因果關聯，形成數學命題，對數學命題按照一定的推理方法進行說理或論證，直至用嚴謹的數學語言和推理規范對數學命題進行證明的全過程．在高級階段需要理解邏輯推理中的公理化思想，理解通過公理系統來建構數學體系的數學方法范式．這一過程主要體現出演繹思維和推理思維．因此，這兩種素養有相對的一面，但同時也是統一的．從總體來看，它們都可以看成是基本的數學運演的方法范式，一種是按照公式法則來演算結果，一種是按照邏輯來推導數學結論（數學命題）．當然，在教學實踐中，這兩種素養的發展有著更為豐富的內涵，相互為用，共同體現在建構數學和解決問題的數學活動中．這兩種素養實質是在數學思維素養的基礎上發展起來的，與數學知識直接關聯的，突出表現一個人數學能力的素養．

2.3 數學工具素養及要素關系

前面兩個層面的素養主要體現在數學對象的形成以及數學的推演，更多是指向數學學科內部的素養，也是傳統數學教學中關注較多的素養．但是核心素養的根本理念是從學科指向外部的，即發展學生的核心素養最終的目的是適應個人和社會的發展的需要．中國學生發展核心素養定義為“指學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力[5]”．這既是中國學生發展核心素養的基本內涵，也必然是學科核心素養發展的方向．對數學學科核心素養來說，應該最終指向學生如何運用數學來解決個人和社會所面臨問題的需求．從這個角度來看，發展學生數學學科核心素養的教和學應跳出數學，把數學的學習和能力的培養指向以數學為工具來解決問題的素養發展方向．為此，把數學工具素養定義為：能運用數學知識與方法針對個人與社會發展需要的，基于情境來發現和提出問題，分析和解決問題所必備的應用意識、創新觀念以及相應的數學應用和創新能力的綜合特征．簡單地說，數學工具素養就是以數學知識和方法為工具來解決問題的素養．數學工具素養集中表現為兩大數學學科核心素養：數據分析和數學建模．

《數學課標（2017）》指出：數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養．數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是“互聯網+”相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代化生活的各個方面．可見，《數學課標（2017）》把數據分析作為數學學科核心素養有著很深厚的統計學和時代背景，其本意是為了發展當今信息時代背景下學生的數據意識、數據分析和應用能力．《數學課標（2017）》中關于數據分析素養的內容主要包括：收集數據、整理數據、分析數據、構建模型、數據推斷、獲得結論．因此，數據分析可以看成統計的數學工具，與數學建模有著密切的聯系．《數學課標（2017）》對數學建模素養定義為：對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養．數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，是數學與外部世界聯系的橋梁．可見，數據分析和數學建模這兩種素養都是指向了解決問題的特征，特別是解決現實問題的特征．它們不僅反映了學生的思維素養和方法素養水平，而且更多地反映了應用數學知識和方法創造性解決現實問題的意識、觀念與能力，具有突出的實踐性．因此，這兩種素養具有顯著的工具素養的特征．

3 數學學科核心素養結構的教學意義

學生素養的發展不是空中建樓閣，而是要落實到學校的具體的課程教學實踐活動中．因此，學生數學素養的發展的關鍵在于在具體的數學教學活動中如何聚焦數學學科核心素養的發展．盡管一個數學活動中常常包含著多種核心素養的發展，但是核心素養的各層面并不是同步發展的，不同教學活動發展核心素養的側重點有所不同．這也是建立數學學科核心素養結構的根本目的，即用以提高發展核心素養的有效性．

《數學課標（2017）》在必修課程和選擇性必修課程的內容體系都是以“數學三大主線+數學實踐性活動”來設置的，課程結構與義務教育階段的四大課程內容領域結構基本一致．因此，從總體來說，數學教學實踐仍然是按照數學課程傳統的學科領域知識內容體系以及實踐性活動的專題來展開．學科領域知識內容的教學主要表現為數學知識教學和數學解題教學兩種主要的教學活動，而以數學建模與數學探究為載體的數學實踐性應用性主題則表現為問題解決教學活動．因此，下面探討這3種主要的教學活動形式所聚焦的數學學科核心素養的發展．

3.1 在數學知識教學中聚焦發展學生數學思維素養

雖然數學學科核心素養的目標是超越具體數學內容的教學目標，但數學素養的發展終歸是建立在數學知識的學習與理解之上．因此，無論是傳統的“雙基”，還是新課程之后的“四基”，知識的教學都是最基礎的教學活動．這里的知識教學主要是指針對數學概念、定理和法則，甚至一些具體的數學思想方法（如“函數”的思想、配方法）等以及由此構成的數學知識系統的認識和理解的教學．很顯然，知識教學既是基礎層面的教學，又是最根本的教學．數學知識教學是數學素養發展的前提和基礎，是傳統數學教學的重要組成部分．但在應試教育背景下常常被異化，比如不強調數學知識產生的來源，僅僅記住概念或法則即進入解題訓練等等．這樣的教學不僅不利于數學知識的理解與掌握，也沒有充分挖掘數學知識教學的教育功能．從發展學生核心素養的視角來看，知識教學對發展學生核心素養有什么作用呢？

中小學階段的數學知識教學的主要教學目標是知識的理解．喻平把知識理解作為評價核心素養的一級水平[6]．知識理解表現在3個方面：一是了解知識的來源；二是理解知識的內涵與關系以及相應的數學方法；三是對所理解的知識的直接應用．因此，數學知識教學常常體現為3個基本的環節．第一，認識數學知識的來源（或背景）．數學知識來源常常包括現實經驗來源和學生的認知來源，即根據學生已有知識和經驗來建構學生知識理解的認知基礎，即所謂奧蘇貝爾的“先行組織者”，體現出蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾數學活動的第一個環節“經驗材料數學組織”[7]過程．這一過程常常是伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動過程，指向了數學學科核心素養“直觀想象”的發展．第二，數學知識對象的抽象．知識教學的最終目的是要獲得抽象數學對象的認知和理解，因此在數學對象原型（或模型）直觀感知的基礎上要抽象和概括出數學對象的特征、要素和關系，以及數學表示方法，從而建立數學對象的認識．這一過程指向了數學學科核心素養“數學抽象”的發展．第三，數學知識的應用．這一過程的應用不是在復雜情境的綜合應用，而是針對抽象數學對象的原型（或模型）的直接應用，使抽象數學對象與直觀的經驗的原型更加緊密地整合起來，形成完整的數學對象模型，從而建立起對數學對象完整的認識和理解．正如希爾伯特在《幾何基礎》第一版的扉頁引用康德的話：人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束[8]．從而，數學知識教學中突出地體現了數學直觀和數學抽象之間辯證的綜合發展過程．

具體來看，3種主要不同的數學知識——概念、法則和命題，體現出不同的認識過程．對于幾何概念來說，有的是先有對圖形形狀的感知（如三角形），有的是先有對不同圖形模型的辨析（如圓周角），然后才建立抽象的幾何概念；對于代數概念來說，常常要先對具體的代數對象的直觀分類和辨析，形成分類模式，然后才形成代數概念．因此，概念的認識是在對概念對象的圖形感知或模式識別的直觀認知基礎上抽象出數學概念的過程．對于數學法則來說，有的是對具體算式中所蘊含的模式的直觀認知，并概括出相應的法則的過程；有的是通過對數學關系的規律的直接感知來獲得一般關系式；有的是把特殊對象的法則規律概括為一般化法則．對于幾何命題，首先是對幾何圖形中關系的直觀感知，然后再概括成命題．這是對數學對象中的關系特征的感知才抽象成數學命題的．從這些數學知識的學習過程來看，體現了直觀想象和數學抽象的思維活動過程．

總之，數學知識的教學，體現了直觀想象和數學抽象的認知活動，也體現了數學思維素養的發展過程．因此，這一層面的教學活動，應該聚焦學生的數學思維素養的發展．

3.2 在數學解題教學中聚焦發展學生數學方法素養

解題教學是中國數學教學的傳統，并在中國教學實踐中普遍存在．一般來說，教授完數學知識之后，教師往往以例題、習題等形式展開解題教學，復習課也屬于解題教學．雖然在應試教育背景下解題教學常常被異化為題海戰術，但是解題對于數學學習的重要性是毋容置疑的．正如鄭毓信稱之為“中國數學教育的‘問題特色’”，提出以“核心問題”的教學來促進學生核心素養的發展，以“問題引領”和“問題驅動”來促進學生的數學學習[9]．不過中國數學教學實踐中的“問題”并不是西方“問題解決”中所指的“開放性問題”，更主要的是基于課程序列中數學知識的理解和應用而設計的習題類數學問題．因此，中國的解題教學在一定程度上可以看成是知識教學的延伸和拓展．解題教學的主要目的在于鞏固和加深數學知識的理解、數學技能的訓練、思想方法的掌握，以及數學能力的培養．

在解題教學中，解答數學問題的基本范式就是數學運算和數學推理．相對于知識教學，解題教學主要是針對數學知識和數學方法的運用．與知識教學不同，解題教學主要是按照數學范式進行操作性演算與演化，即最終得到解答的結果．通過解題教學主要目的是促進學生獲得解決數學問題的經驗與策略，學習數學方法和數學思維方式．

怎樣在解題教學中發展學生的數學方法素養呢？數學運算是數學解題活動中最為普遍的方式，在數學教學實踐中基于法則展開數學運算有著豐富的內涵和層次．《數學課標（2017）》強調了數學運算素養要明晰運算對象和以運算法則為依據．從數學運算的對象來看，中小學數學運算的對象主要體現在不同抽象層次的數學對象，比如，數的運算、代數式的運算、方程與函數運算、向量運算和三角形運算以及解析幾何中的運算等．每一種運算都是基于明確的對象和特定的運算法則．從這一角度來看，數學運算素養首先要明確運算對象以及相應的法則．在教學實踐中，常常是通過運算對象的變式以及不同對象之間的關聯和轉換來提高運算素養的水平，對于運算法則的深入理解則表現在算理的認識，需要一定邏輯推理能力．其次，從數學運算操作中的思維水平來看，也表現出不同層次，比如，根據公式法則進行運算，強調對象的準確性，運算程序的規范性，這是最基礎的層次，屬于數學技能層面；根據數學概念性質進行運算，涉及對相關概念的理解，屬于數學理解與數學方法的綜合，有一定的數學概念理解的要求，但算法的創造性要求并不高；根據數學方法進行運算，比如利用恒等變換方法、配方法、換元法、構造函數等進行運算，這是針對一些綜合多種對象與數學方法進行運算問題，數學思維層次要求比較高，它需要綜合地根據問題中的數學對象特點和規律，選取一定的數學方法，甚至創造一定的算法，經過一定的邏輯推理才能完成問題的解決．

推理是一種基本的數學思想[8]，也是數學方法，邏輯推理就是數學命題關系推演的基本方法．數學解題本質上都是邏輯推理，即建立條件和結論之間的必然關系．形式演繹推理主要體現在平面幾何的命題證明中，即在歐氏幾何公理體系框架下展開邏輯推理，這是學生初步系統學習數學推理的基本途徑．幾何命題反映了圖形之間的關系．在命題教學時，要學會觀察圖形特征，提出命題，并用幾何語言來表述問題，然后通過邏輯推理來證明命題．推理方法的多樣性，不僅從不同角度反映了圖形結構，而且體現了數學思維的靈活性和創新性．這些都是幾何命題教學中邏輯推理素養的內涵．在代數解題中，按照法則進行數學運算，本質上也是基于算理的推理過程，而構造算法則類似于幾何推理方法的創造性．在統計概念學習過程中，基于數據分析進行統計推斷，本質上也是一種邏輯推理的思維方法，其邏輯依據則變成了統計規律（或定律）．因此，在各個不同的數學領域的數學解題教學活動中，都有著豐富的邏輯推理的內容，支持著學生邏輯推理素養的發展．

總之，數學解題教學中主要是運用數學運算和邏輯推理來解決數學問題，突出體現了數學方法范式．在數學解題教學活動中，學生通過數學解題不僅突出訓練了數學運算與邏輯推理兩種素養，而且加深了學生對數學對象和關系的理解，掌握了數學方法，形成有秩序合乎邏輯地認識和表達的理性精神．因此，這一層面的教學活動，應該聚焦學生的數學方法素養的發展．

3.3 在問題解決教學中聚焦發展學生數學工具素養

如前所述，數學工具素養是針對數學應用的素養，是一種從數學內部向數學外部遷移的素養，也是在數學外部以數學知識和方法為工具來解決問題的素養．中國傳統數學教育中學生數學工具素養方面的發展是不足的．這是因為數學學習和教學往往是以考試為導向，而考試主要是數學內部的問題，因此學生學習很多數學知識與方法，能夠很好地解決數學問題，卻常常不知道在實際問題情境中如何運用數學知識和方法進行問題解決．研究核心素養的國際權威機構世界經濟合作與發展組織（OECD）將素養定義為：運用知識、技能和態度滿足特定情境中復雜需要的能力[10]．它所組織的國際學生評價項目（PISA）也主要測試學生在現實情境下運用數學解決實際問題的表現．因此，這里的問題解決主要是指基于綜合情境（包括現實情境和復雜數學情境）中所展開的提出問題、分析問題、建立數學模型，運用數學知識和方法來解決問題，并能從問題情境中的現象或規律進行解釋或推斷，以及對問題結果或方法展開拓展等活動．問題解決教學活動主要表現課程標準中的數學建模與數學探究活動，同時把基于現實情境中運用數據分析方法來處理概率統計問題也看成問題解決活動．問題解決教學活動在教學實踐中表現在3個方面．

第一，情境與問題解決．問題解決中的“問題”常常是在情境中產生的．文[11]論述了情境與6大數學學科核心素養之間的關系，表明情境與數學學科核心素養發展有著密切關系．新課程改革后，中國的數學教學突出了情境性，在綜合實踐課程領域，也設計了情境性的數學問題．這些情境雖然不是真正意義上問題解決中的情境，但從這些情境中觀察和分析數學信息，用數學方式來表示情境中的現象與規律，甚至形成數學對象，以及采用數學知識和方法來解決問題等教學活動，都隱含著數學知識和方法應用的基本特點，也就體現了問題解決的特點．同時通過情境，感受和領會數學知識與情境之間的關系，從而潛在地形成了數學與現實密切聯系的數學觀，促進數學應用意識和能力的發展．

第二，數學建模與問題解決．《數學課標（2017）》設置了數學建?；顒优c數學探究活動的內容，使得發展學生工具素養顯得更加突出．數學建模是基于數學思維運用模型解決實際問題的綜合實踐活動，一般包括如下過程：首先，構建基于現實情境的數學問題．其次，通過對現實情境的要素與對象的數學關系與結構進行分析，建構相應的數學模型．再次，有的數學模型可能只是一個形式模型，還需要確定具體的參數，常常需要通過調查統計獲取數據，通過計算獲得數學模型參數．這樣才建立起了描述情境問題的具體的數學模型，利用這個模型才能求解結果．最后，將根據模型求得的結果放入到原來情境中去檢驗，看結果是否符合實際的要求和條件，是否可以解釋原情境中的現象與規律．當結果與實際情境有很大差異時，還需要改進模型，以便求出符合實際的結果．數學建模類的實際問題解決活動，不僅反映了學生綜合地運用數學知識和方法解決實際問題的創新能力，而且也讓學生體會了數學與情境問題之間的關系，培養了數學應用意識與創新觀念，最終發展了學生知識、觀念和能力相互整合的數學工具素養．

第三，數學探究與問題解決．數學探究是《數學課標（2017）》中另一類問題解決課程，是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動．課標指出[2]：數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜想合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論．因此數學探究性活動主要是在綜合的數學情境中展開的數學創造性的探究活動，體現了學生整合數學知識與方法，數學運算與推理，關系推演與結構變化等高層次數學思維能力，是數學素養的綜合體現，也可以看成是一種高階的工具素養．

值得注意的是，上述所討論的3種教學活動分別聚焦了不同層面的數學素養的發展．但實際上，每一種教學實踐活動并不意味著僅僅只有一個層面的素養發展，而是3個層面的素養可能同時發展．因此，將圖1中的核心素養結構圖稍微變化一下來顯示3種教學活動與數學素養發展的關系圖（圖2）．

圖2 教學活動與數學素養發展關系

另外，以上3種教學形式不是孤立存在的教學實踐，而是統一體現在完整的教學活動過程中．通常是首先完成知識教學，通過直觀想象和數學抽象過程，建立了學生對數學知識的基本理解，突出培養學生數學思維品質；然后通過解題教學既鞏固知識的理解，又學習數學運算和邏輯推理方法，突出發展數學能力；最后基于問題解決的數學知識和方法應用過程，通過數據分析和數學建模等活動，體會以數學為工具應用于解決問題的過程，認識數學與現實之間的關系，突出發展數學應用意識和創新觀念．總體來看，數學素養正是隨著教學活動的推進沿著圖2對角線方向不斷發展．

[1] 史寧中．高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J]．數學教育學報，2018，27（1）：8-10．

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[11] 常磊，鮑建生．情境視角下的數學與核心素養[J]．數學教育學報，2017，26（2）：24-28．

The Structure of Mathematical Core Competencies and Its Teaching Significance

NING Rui1, 2, LI Chang-yong2, LUO Zong-xu3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. School of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610068, China; 3. The Experimental School of Chengdu Shuangliu Middle School, Sichuan Chengdu 610200, China)

This paper proposed a structural model of mathematical core competencies focusing on the definition of mathematical core competencies and six major elements put forward in Mathematics Curriculum Standard for Senior High Schools (2017 Edition). The six core competencies were divided into three groups at three ascending levels, i.e., mathematical thinking literacy (including intuitive imagination and mathematical abstraction), mathematical method literacy (including mathematical operations and logical reasoning), and mathematical tool literacy (including data analysis and mathematical modeling).This reflected the development of competencies of mathematics from mathematical knowledge learning to applications of mathematics. The thinking quality, key abilities, and mathematical affection (including emotions, attitudes, and values) in the definition of mathematical core competencies were regarded as three components throughout the three levels. Thus a structural model about mathematical core competencies was formed. On the basis of this structural model, three types of teaching were further discussed, including knowledge teaching, teaching for solving mathematical problems, and teaching for problem solving, which corresponded to the focus of the development of mathematical core competence at different levels.

mathematical core competencies; structural model; thinking literacy; method literacy; tool literacy

2019–01–21

四川省教育廳項目——核心素養視角下發展學生數學思維品質之教學研究（18SA0203）

寧銳（1972—），男，四川儀隴人，講師，博士生，主要從事教師教育與數學教學研究．

G40–03

A

1004–9894（2019）02–0024–06

寧銳，李昌勇，羅宗緒．數學學科核心素養的結構及其教學意義[J]．數學教育學報，2019，28（2）：24-29．

[責任編校：陳雋、陳漢君]