自適應的數感訓練對低年級兒童數學能力的影響

賈硯璞，張 麗，徐 展

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自適應的數感訓練對低年級兒童數學能力的影響

賈硯璞1，張 麗2，徐 展1

（1．西南大學 心理學部，重慶 400715；2．中央財經大學 社會與心理學院，北京 100081）

采用嚴格的實驗組對照組前測后測實驗設計，探討自適應的數感訓練對低年級兒童數學能力的影響．選取90名小學二年級兒童（平均年齡7.89歲）為被試，經過一個月每周兩次的集體訓練，結果表明：基于個體水平的數感訓練可以提高兒童近似數量系統的精確性；基于個體水平的數感訓練對兒童數學成績的提升有促進作用；不同數學水平的兒童經過數感訓練后數學成績的提高程度間存在顯著差異，自適應數感訓練對中等數學成績和低數學成績學生的干預效果最好．在未來的教育及干預中，要設計更有針對性且多樣化的方法促進兒童數學能力的發展．

低年級；自適應；數感訓練；數學能力；因材施教

1 問題提出

數學能力在人的一生中占據著非常重要的地位．學齡兒童的數學能力可以預測未來的學業成績[1–2]．越來越多的研究者開始探討怎樣才能提高兒童的數學能力[3–4]，研究熱點之一就是數感訓練對數學能力的影響[5–10]．

人們對物體或事件數量存在一種非言語的表征方式，這種表征區別于通過言語或數字符號對數量的精確表征，它具有近似性和不精確性[11–12]．Halberda（2008）將這種表征系統稱為近似數量系統（approximate number system，ANS），也可稱之為數感（number sense）．ANS不僅存在于成人中，在嬰兒、動物中同樣存在[13–14]．研究者通常采用非符號比較任務來測量ANS的精確性．該任務向被試呈現兩個陣列的點，要求被試判斷哪個陣列的點數更多一些．隨著年齡的增大，ANS的精確性也會隨之提高．ANS被認為是一種與生俱來的能力，相較于一般認知能力，ANS更可能是決定數學能力個體差異的最重要因素[13，16]．有研究者認為，ANS是獲得數概念，甚至是更高級數學能力的基礎[17–18]．因此，越來越多的研究者開始關注ANS和數學能力之間的關系．

ANS和數學能力之間存在顯著相關，有3方面的證據支持：第一，不管成人還是兒童，ANS和數學能力之間都存在顯著的正相關[19–22]，即使在控制了一般認知能力之后，兩者之間的相關性仍然存在[13，16，23]，并且元分析的研究更為兩者之間的顯著正相關提供了證據[24]；第二，縱向研究的結果表明，ANS的精確性可以顯著預測兒童未來的數學成績[25–27]；第三，與正常被試相比，計算障礙兒童以及數學困難兒童的近似數量系統的精確性更差[18，28]，在數學天才群體中，ANS和數學成績也是顯著相關的[29]．因此，研究者猜測，如果針對數感進行訓練的話，不僅可以提高近似數量系統的精確性，也會提高數學成績．

大量干預研究為兩者間的因果關系提供了證據[5–10]．但在這一部分研究中，所得到的結論是不一致的．在不同的干預研究中，數學能力所提高的方面各有不同．一些研究表明數感訓練對數學能力的不同方面產生的影響是相同的，如Odic將數學能力分為數數、數字比較、計算、數學知識4個方面．Odic研究發現，經過數感訓練后，兒童的數學成績得到提高，但不同數學能力的提高程度間沒有顯著差異．另一些研究則表明數感訓練只能提高被試某一方面的數學能力，如在Pekka的實驗中，30個幼兒接受了數感訓練后，結果發現在所測的數學任務中，只有數字比較任務的成績得到顯著提高；Park和Brannon（2013）同樣進行了數感訓練，但結果發現提高的卻是被試的計算能力[8]．

首先，猜測這些不一致結論是由于不同的研究采用不同的數學任務來測量數學能力所導致的．Odic用TEMA-3中的16道題來測試兒童的數學能力，Park和Brannon（2013）則用多位數加減法來檢驗兒童的數學能力[7]．不同的數感干預研究中前后測采用的數學任務是不同的，這會使“數感訓練可以提高數學成績”的研究結論不嚴謹，而研究者所采用的北師大標準數學測驗是針對中國二年級學生，所包含的數學能力也更完整．其次，數感訓練對不同數學水平的兒童產生的效果是相同的嗎？成績差的、中等的或成績好的，哪一類兒童經過訓練后的數學成績提高更顯著？這些都是值得研究的問題，但以往數感干預研究中并沒有討論過．最后，以往的干預研究在進行訓練時并沒有考慮個體間的差異，每個兒童每次接受的都是相同的訓練．研究者將基于個體水平進行訓練，探討自適應的數感訓練對數學能力的影響．

因此，研究者將考察以下3方面問題．第一，經過自適應的數感訓練后，兒童近似數量系統的精確性是否得到提高．第二，這一影響是否會遷移到數學能力上．第三，數學成績差的、中等的、還是成績好的學生提高更顯著．假設低分學生經過數感訓練后的數學成績提高最顯著．

2 方法

2.1 被試

選擇重慶某小學二年級學生90人，平均年齡為7.89歲（=0.44，年齡范圍為7~9歲），身心健康，均為右利手，視力或矯正視力正常．將平行的兩個班以班級為單位隨機分為2組：數感訓練組（1個班，45人，平均年齡為7.96歲）；對照組（1個班，45人，平均年齡為7.82歲）．G-power的研究結果表明被試的樣本量充足．SPSS數據處理時，刪除了所有任務中3個標準差之外的數據，以及One-back任務、Flanker任務和非符號比較任務中反應時小于200 ms的數據，并用平均數代替缺失值．

2.2 實驗材料

智力采用的是瑞文標準推理測驗，施測方法為團體施測．測驗要求被試根據大圖案內圖形間的某種關系，看小圖片中的哪一張填入大圖案中缺少的部分最合適．測驗包含A、B、C、D、E等5組題，每組12道題，共60道題．答對一題得一分，共60分．

韋氏兒童智力量表中的言語分量表用來測量兒童的言語能力．施測方法為個別施測．言語分量表包括3個方面：類同、詞匯和理解．類同要求兒童說出主試所說的兩個詞間相似的地方，連續3題得0分則停止；詞匯測驗要求兒童解釋主試所說的詞語的意思，連續4題得0分則停止；理解要求兒童在理解一般原理和社會情境的基礎上回答問題，連續3題得0分則停止．言語分測驗的總分為154分．

One-back任務用來測量兒童的工作記憶．兒童需要判斷當前出現的拼音字母是否和前一個字母一致，如果一致按“J”鍵，如果不一致則按“F”鍵．一共有30個試次．在正式實驗之前會進行練習，只有當練習階段的正確率大于60%時，才能進入正式實驗．One-back任務的衡量指標為正確率．

混合魚任務（改編版的Flanker任務）用來衡量兒童的抑制控制和認知靈活性．混合魚任務一共包含3個部分：（a）標準魚，（b）相反魚，（c）混合魚．每個部分里各有16個試次，一共48個試次．在標準魚情況下，小魚是藍色的，兒童需要忽略四周小魚的干擾而注意中間小魚的朝向，如果中間小魚朝左按“F”鍵，如果中間小魚朝右則按“J”鍵；在相反魚情況下，小魚是粉色的，兒童需要忽略中間小魚的干擾而注意四周小魚的朝向，如果四周小魚朝左則按“F”鍵，如果四周小魚朝右則按“J”鍵；在混合魚情況下，藍色小魚和粉色小魚則混合隨機出現，兒童需要根據小魚的顏色來進行正確的按鍵．在進行正式實驗之前會有4次練習，在練習階段會根據兒童的答案給予反饋（正確答案會顯示“恭喜你，你還可以更棒！”，錯誤答案會顯示“很遺憾，繼續加油！”），在正式實驗中則沒有反饋．

非符號比較任務用來測量兒童的數感能力．該任務要求兒童判斷屏幕左右兩邊哪邊的點數多一些（如圖1），如果左邊的點數多就按“F”鍵，右邊的點數多就按“J”鍵．由于在非符號比較任務中比率越大，難度就越大，因此對任務呈現中的比率進行了平衡，低難度比率（1:2，2:3，3:4，4:5）和高難度比率（5:6，6:7，7:8，8:9）各呈現4組．故非符號比較任務的點數范圍為5~30，共有8種比率，每種比率出現6次，共48個試次．比率越大難度就越大，任務難度隨機呈現，更多的點數出現在左邊還是右邊進行了平衡．正式實驗之前會進行練習，練習時有反饋，正式實驗時無反饋．

圖1 非符號比較任務

數學能力采用的是北京師范大學編制的標準化測驗《中國兒童青少年數學學業成就測驗（二年級）》．數學測驗包括選擇題和解答題兩部分，共34道題，在內容上數學測驗將數學能力分為（a）數與代數、（b）空間與圖形、（c）統計與概率3個方面．對于低年級兒童來說，數與代數主要包括數的認識、數的運算、常見的量和探索規律方面的知識，空間與圖形指的是圖形的認識、測量、圖形與位置等，統計與概率測的是兒童數據統計活動初步和不確定現象的掌握情況．除了內容維度外，該數學成就測驗還包括能力維度這一指標體系，能力維度包括知道事實、應用規則、數學推理、非常規問題解決4個方面．在涵蓋的內容和能力維度不變的情況下，該成就測驗是基于課程標準而制定的分段測驗，具有數學內容和能力的連貫性和一致性，更適合中國被試群體使用．內部一致性信度為0.77．答對一題，計1分；答錯計0分，共34分．

2.3 實驗程序

在完成所有的前測任務之后，訓練組兒童以班級為單位接受為期一個月的數感訓練，每周兩次（固定為每周一和周五進行訓練），共8次，每次訓練15~20分鐘．對照組兒童只接受和訓練組兒童完全相同的前測，不參與任何相關的訓練，進行正常的教學活動．一個月的訓練結束后，訓練組和對照組兒童同時接受相同的后測．

數感訓練時采用與前后測類似的非符號比較任務，不同點在于：第一，訓練時刺激的呈現方式由隨機呈現變為由易到難呈現（根據比率不同而分為8個難度階段），當本難度的正確率達到75%以上時，才可進入下一難度的訓練；第二，數感訓練時，被試在對刺激做出反應之后，電腦會根據答案的正確與否做出反饋（正確答案會顯示“恭喜你，挑戰成功！”，錯誤答案會顯示“很遺憾，繼續努力！”）．

3 結果

3.1 描述性統計結果

首先，對兩組兒童每個任務的前測成績進行獨立樣本檢驗．結果顯示，兩組兒童在前測成績上沒有顯著差異（> 0.05），如表1．

表1 數感訓練組與控制組的前測任務描述性統計結果

注：括號內數值為標準差，括號前為平均數．以下同．

3.2 遷移效果

3.2.1 近遷移效果

為了分析數感訓練是否會對兒童本身的數感能力產生影響，研究者進行了2（測試階段：前測，后測）×2（組別：數感訓練組，對照組）兩因素重復測量方差分析，同時將兒童的智力、言語、工作記憶、抑制控制和認知靈活性作為協變量進行控制．其中，組別為被試間變量，測試階段為被試內變量．結果顯示：組別和測試階段的交互作用顯著，(1, 90)=5.083，=0.027，偏2=0.057．之后簡單效應的結果表明：在非符號比較任務上，數感訓練組兒童的后測成績比前測成績好，而對照組兒童在此任務的前后成績上并沒有顯著變化；前測時兩組兒童在非符號比較任務上并無顯著差異，而后測時數感訓練組兒童的非符號成績顯著優于對照組．這說明進行數感訓練之后，數感訓練組的非符號成績的提高要顯著優于對照組，數感訓練可以提高兒童近似數量系統的精確性（見圖2）．將前后測兒童標準化了的非符號成績作差，并進行獨立樣本檢驗（(90)=2.944，=0.004），結果同樣證明，數感訓練對提高兒童近似數量系統的精確性的積極作用．

圖2 兩組兒童在非符號比較任務上的正確率

3.2.2 遠遷移效果

為了分析數感訓練是否會對兒童的數學能力產生影響，研究者進行了2（測試階段：前測，后測）×2（組別：數感訓練組，對照組）兩因素重復測量方差分析，將兒童的智力、言語、工作記憶及抑制控制和認知靈活性作為協變量進行控制．其中，組別為被試間變量，測試階段為被試內變量．結果顯示：組別和測試階段的交互作用顯著，(1, 90)=9.324，=0.003，偏2=0.1．之后簡單效應的結果發現：在數學任務上，數感訓練組兒童的后測成績比前測成績好，而對照組兒童在此任務的前后成績上并沒有顯著變化；前測時兩組兒童在數學任務上無顯著差異，后測時數感訓練組兒童的數學成績顯著優于對照組．也就是說，進行數感訓練之后，數感訓練組兒童的數學成績的提高要顯著優于對照組，自適應數感訓練可以提高兒童的數學成績，結果見圖3．將前后測兒童標準化后的數學成績作差，并進行獨立樣本檢驗（(90)=2.219，=0.029），結果同樣表明數感訓練對提升兒童數學成績有積極作用．

3.3 不同水平兒童的訓練效果

自適應數感訓練可以提高兒童的數學成績，但數感訓練的效果對不同數學水平的兒童來說是否會存在差異仍是不清楚的．因此為了解決第三個研究問題，研究者先根據數感訓練組兒童前測的數學成績按累計百分比分為高、中、低3組：將數感訓練組中前測數學成績處于后1/3的兒童劃分為低分組（15人），處于前1/3的兒童劃分為高分組（15人），其余1/3的兒童為中等組（15人）．除數學任務以外，3組在其它任務上無顯著差異（見表2）．之后用數感訓練組兒童的后測標準化數學成績減去前測標準化成績，并進行單因素方差分析，同時將兒童的智力、言語、工作記憶、抑制控制和認知靈活性作為協變量進行控制．結果表明，3組數學成績的提高程度間存在顯著差異，(2, 45)=6.832，=0.003；兩兩比較的結果表明，數感訓練后中等組（=0.022）和低分組（=0.001）學生數學成績的提高顯著高于高分組，但中等組和低分組之間的差異不顯著（=0.220）．也就是說，自適應的數感訓練對不同數學水平兒童的干預效果不同，自適應數感訓練對中等和低數學成績學生的干預效果較好，結果見圖4．

圖3 實驗組和對照組學生在數學成績上的前后測結果

表2 數感訓練組中兒童在各個任務上的描述性統計

注：表中***表示<0.001．

圖4 數感訓練組中不同水平兒童的數學成績提高的差異

4 討論

研究者在進行數感訓練時考慮了個體間的差異，探討了基于個體水平的數感訓練對低年級兒童數學能力的影響．結果表明，數感訓練不僅可以提高兒童近似數量系統的精確性，還可以提高兒童的數學成績；自適應的數感訓練對不同數學水平兒童的干預效果不同，自適應數感訓練對中等數學成績和低數學成績學生的干預效果較好．

4.1 數感訓練對數學能力的影響

已有的數感干預研究在訓練時并沒有考慮不同個體間的差異，每個被試每次接受的都是同樣的訓練．但在實際數學教學過程中，同一班級中不同學生間存在著如性別、一般認知能力、社會經濟地位（SES）等的許多差異，個體差異不可避免成為影響教學成果的重要因素．研究結果表明：在不同數學水平兒童間自適應數感訓練的干預效果存在顯著差異．這一結果證明了在數感訓練時考慮個體差異的必要性．未來研究應當再增加一個普通數感訓練組，與自適應數感訓練組進行比較．如果研究表明普通數感訓練下不同數學水平兒童成績提高的差異大于自適應數感訓練的話，就更可以支持數感訓練時考慮個體差異的必要性和可行性．除此之外，自適應的數感訓練對兒童的數學能力具有提升作用的研究結果，具有重要的現實應用意義，這些結論啟示教師在數學教學中應從學生的實際出發，因材施教．從更嚴謹的意義來說，同樣的未來研究應再增加一個普通數感訓練組，與自適應數感訓練組進行比較，以探討到底哪種數感訓練的效果會更好．

研究發現，數感訓練可以有效提高兒童的數學成績，這與以往的研究結果一致[5–10]．但這一因果關系發生作用的內在機制仍不清楚．Park和Brannon（2014）雖然探討過數感訓練對數學能力產生影響的內在機制，但Park等訓練時采用的是非符號計算任務，也就是先將兩組點陣進行加或減的運算后，再與第三組點陣進行比較[7]．結果發現，兒童進行加減運算的心理操作是導致這一訓練產生影響的關鍵因素．但此處所用的非符號比較任務不同于Park所用的非符號計算任務．在進行不存在點陣加減過程的數感訓練情況下，加減運算的心理操作仍是導致數感訓練產生影響的內在機制嗎？未來研究仍需繼續探討近似數量系統在數學加工中的認知與腦機制．

4.2 數感訓練對不同水平兒童數學能力的影響

研究者探討了數感訓練對不同水平兒童數學能力的影響，與研究假設一致的是，數感訓練對不同數學水平兒童的影響存在差異，有兩方面的證據予以支持．首先，Szkudlarek（2018）按照兒童前測數學成績的高低分為兩組，探討了非符號計算的訓練對哪一類兒童的訓練效果更好，結果發現非符號計算訓練對前測數學成績差的3~5歲幼兒的訓練效果更顯著[30]．非符號比較任務和非符號計算任務的本質都是用來提升兒童數感能力的任務，既然非符號計算訓練對數學成績差的兒童的干預效果更好，那非符號數感訓練應該也會出現相似的結果．其次，在有關英語學科的研究中，不同的干預對不同成績水平學生的影響是不同的．如中等水平尤其是低水平學生在英語課堂中，引入同伴互助學習策略后的閱讀成績取得顯著進步[31]；問題預覽模式對高水平學生聽力測試成績的影響效果最大[32]；不同閱讀水平的學生在參加評述性閱讀教學實驗后所取得的進步不一致，中等閱讀水平學生成績明顯提高[33]．而學科成績間具有相關性，有研究表明，數學和閱讀成績間顯著相關[34–35]．因此推測在數學學習領域可能同樣會存在不同學習成績學生的訓練效果不一致的結果，研究結果支持了這一猜想，發現自適應的數感訓練對不同數學水平兒童的影響不同，自適應數感訓練對中等數學和低數學成績學生的效果較好．數感訓練對不同數學水平學生的干預效果不同，那不同水平學生數學能力提高的方面是否會有所不同？未來研究可以繼續探討．

4.3 教育啟示

教師在未來的教育及干預中，要設計更有針對性的措施來促進兒童數學能力的發展．這里的針對性有兩方面含義．一是針對不同個體．每個學生都是獨立的個體，每個學生數學能力的發展水平不同，同樣一個課程，有的學生接受得快而有的學生卻很難學會．因此教師在教學過程中，針對同一個教學任務，要考慮到不同兒童的發展特點、接受知識的速度，要因材施教，不能一概而論．二是針對不同水平．適合低分組學生的方法不一定適合高分組學生，因而為了更有效地提高數學成績，針對不同數學水平的學生設計不同的訓練方法勢在必行．總之，小學數學教材中有關數感內容的設計與編寫應符合兒童的年齡發展特點，而教師在數學教學過程中應尊重學生的個體差異性，并且多采取將兒童數感能力的培養與計算機技術相結合的方式，在提高低年級兒童學習數學的興趣的同時，又可以更加動態、更有針對性地提高兒童的數學能力．

提升小學低年級學生數學成績的方法多種多樣，研究者所探討的數感訓練只是其中之一，并不是說家長或教師只能采取這種方式來提高學生的數學成績．在學生數學學習過程中，家長和教師應擺脫依賴書本的應試教育，教師在教學中提供豐富的學習情境，家長在生活中引導孩子豐富學習形式．寓教于樂，寓學于樂，才能讓學生真正接受數學、喜歡數學．

5 結論

通過一個月每周兩次的集體訓練，研究者得出以下幾點結論：第一，基于個體水平的數感訓練可以提高兒童近似數量系統的精確性；第二，基于個體水平的數感訓練可以有效提高兒童的數學成績；第三，經過數感訓練后，不同水平兒童的數學成績提高程度存在差異，自適應數感訓練對中等數學成績和低數學成績學生的干預效果較好．在未來的教育及干預中，要設計更有針對性且多樣化的方法來促進兒童數學能力的發展．

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Effects of Adaptive Number Sense Intervention on Mathematical Ability in Second-Grade Children

JIA Yan-pu1, ZHANG Li2, XU Zhan1

(1. Faculty of Psychology, Southwest University, Chongqing 400715, China; 2. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China)

The purpose of this study was to explore effects of adaptive number sense intervention on the mathematical ability in the second-grade children by using the design of pretest and post-test experiment. In the current study, 90 students (mean age=7.89) were randomly allocated to two groups. The treatment group performed the non-symbolic comparison task twice a week which was to train number sense, while the control group doing nothing. After one month, the adaptive number sense intervention improved their precision of number sense, as well as their mathematical performance. However, as for training effect, there was no significant difference between children of different mathematical levels.

second-graded; adaptive number sense intervention; mathematical ability

2019–01–30

全國教育科學“十二五”規劃青年項目——發展性計算障礙兒童的認知缺陷成因（EBA130366）

賈硯璞（1995—），女，山西侯馬人，碩士生，主要從事兒童數學認知研究．張麗為本文通訊作者．

G632.4

A

1004–9894（2019）02–0030–05

賈硯璞，張麗，徐展．自適應的數感訓練對低年級兒童數學能力的影響[J]．數學教育學報，2019，28（2）：30-34．

[責任編校：陳漢君、張楠]