例說問題表征對研究性創新題解決的影響

王立余

[摘? 要] 研究性創新題作為當前高中數學創新題的一種類型，它已經被眾多高中生視為數學高考的“攔路虎”. 筆者通過查閱文獻，訪問學者等方式，了解到問題表征對研究性創新題的影響非常大，甚至影響了學生解題的正確率和效率. 文章從背景、命題以及多元這三個表征，通過例題分析了問題表征對研究性創新題解決的影響，希望順利解決“攔路虎”，促使學生的核心素養得到培養.

[關鍵詞] 問題表征;研究性創新題;影響

研究性創新題往往與研究性學習有較為密切的關系，它一般會以“新”背景、知識銜接、開放探究等方式呈現，較為注重考查學生運用知識解決實際問題的相關技能. 然而，當前問題表征對于研究性創新題解決的影響并未受到關注，導致很多師生并不清楚其對研究性創新題解決的影響，所以本文中，筆者從背景表征、命題表征以及多元表征分析，概述了三種表征對研究性創新題解決的影響.

[?]背景表征對研究性創新題解決的影響

對于研究性創新題來講，背景情境理解情況直接關系著解題的成敗，也就是說，理解數學問題的背景情境，能夠理解題目意思，抓住解題的關鍵信息，明確考查的知識點，尋得解題的有效途徑，反之，未能理解或者錯誤理解數學問題情境，就會“山重水復疑無路”，產生畏懼、煩躁等不良情緒，進而解題失敗甚至直接放棄解題. 歸根究底，生活化創新題不是直觀、單純的數學問題，需要學生通過理解背景，結合真實的現實感受，挖掘數學問題本質，明確考查的知識點，進而成功解題.

例1：某居民小區為了緩解“停車難”問題，擬建造一個地下車庫. 建筑設計師提供了該地下車庫進入后的直角轉彎處的平面設計圖. 車庫內，有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖1所示，設∠OAB=θ（rad），車道寬為3 m，現有一輛轉動靈活的小汽車，它水平截面圖為矩形ABCD，寬為1.8 m，長為4.5 m，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？

解析：本題是日?，F實生活中較為典型的應用，它集現實生活與數學知識于一身. 這就要求學生解決背景問題時，用數學的眼光看待問題，實現現實問題“數學化”，這樣既有助于改善學生對于數學知識學習的態度，還能夠使學生親身體會到“數學源于生活又應用于生活”，更能夠培養和提高學生運用知識解決生活實際問題的能力與技能. 解該題目時，首先分析現實生活背景，組合題目信息，將生活問題準確無誤地表征為數學問題. 如，車子順利通過直角拐彎車道，就需要滿足車道的水平截面圖的長度大于車子的水平截面圖的長度，即AB>4.5. 通過轉換、變形，獲得關于θ的函數f（θ）=+-1.8

tanθ+

，然后設sinθ+cosθ=x，換元得到f（θ）=g（x）=，再利用函數的單調性就可以獲得答案.

[?]命題表征對研究性創新題解決的影響

CPFS結構是由概念域、概念系、命題域以及命題系形成的一種結構，它是相對較為完善的描述命題表征的結構理論. 命題表征對研究性創新題解決有非常大的影響，如理解不透，會影響題意的理解，影響解題方法的選擇. 結合實踐發現，命題網絡一般由若干個共同成分的命題構成，所以解題時，要抓住題目命題的“共同成分”，構建有效、合理的命題網絡，進而調動大腦中數學知識的系統，明確考查的知識點，構建有效的解題途徑.

例2：已知，函數f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數，且0

解析：該類創新題的題意一般都較為簡單、直白，但題目的命題往往有多個組成成分，需要學生結合題意進行分析，抓住各個命題的“共同成分”，構建有效、合理的命題網絡. 通過細讀發現，本題的題意是證明不等式“aa≤a1b1+a2b2”，且涉及“函數f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0）”，a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數以及“不等式aa≤a1b1+a2b2”這幾個命題.要證明不等式，就需要學生對不等式的證明方法進行命題表征. 本題的命題表征主要是由函數f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0）來證明不等式“aa≤a1b1+a2b2”，兩者如何關聯是解題的關鍵之一. 由函數到不等式常涉及函數的最值問題，而函數最值問題一般會涉及函數的單調性、導數等相關知識. 利用導數可得：f（x）≥f（1），即：xr≤rx+（1-r），觀察xr≤rx+（1-r）與aa≤a1b1+a2b2，發現存在“共同成分”——形式類似，這是解題的關鍵之二，利用b1+b2=1，令x=，r=b1，即可證得不等式.

由此可見，解題中研究命題表征，尋找表征間的關聯，發現兩者間的“共同成分”尤為關鍵.

[?]多元表征對研究性創新題解決的影響

大部分數學學習對象的表征都具有優先性和典型性的特征（簡稱“兩性”特征），但是解題過程中發現，學習對象的“兩性”特征卻未能起到正面的影響，反而常常扮演著“絆腳石”的角色，影響解題的順利進行. 例如，標準的幾何圖形、數學符號表達都較易使學生依賴典型問題，進而產生錯誤的視覺判斷. 所以，多元表征是一個主動構建意義的過程，它對研究性創新題解決的影響可以從內容和方法這兩個方面進行了解. 從內容來講，表征的豐富性和相互性構建了數學學習對象的網絡結構;而從方法來講，表征的轉換或者轉譯體現了數學學習中邏輯思維與非邏輯思維的互補. 簡單來講，就是多元表征便于學生構建網絡結構，培養和提高學生的思維能力.

例3：設S=1+2+3+…+n，S=12+22+32+…+n2，已知S=，試探究S的一般公式.

解析：該類題目屬于探究類題型，它對學生的思維能力有一定的要求，也就是說，探究類創新題較為注重考查學生的思維，且思維考查較深，所以解決該類題時，要進行多角度思考.結合本題的已知條件，可以有兩種解決方法，如表1.

方法一：代入數值進行觀察猜測，然后利用歸納法進行驗證，得到：S= . 此法解題時，僅簡單進行了數字表征，思維常規.

方法二：根據題目所給信息，嘗試建立S和S兩者之間的關系.首先，利用代入數值的方法進行初步的運算;然后，利用圖表的直觀特征將數據在表格（表1）中顯示;其次，觀察S的“形”與S的“形”的特征，歸納總結規律，得到：=;最后，結合S=，求得S=. 對比“方法一”與“方法二”發現，“方法二”對學生的信息捕捉能力和思維能力要求較高，并且解題過程較為優化，鍛煉培養了學生的思維. 多元表征確實能夠優化解題過程，但對學生的數學技能要求較高，不僅要求學生具有扎實的基礎知識，能夠構建知識網絡，還要求學生熟知各種表征方式的特征，能夠結合問題特征采取恰當的表征方式，且靈活轉化表征方式，進而有效解決研究性創新題.

對大多數高中生來講，研究性創新題的難度較大，且常常在解題過程中遇到“絆腳石”，歸根究底就是，基礎知識不扎實，未能抓住知識的本質. 因此，作為新課改背景下的一線教育工作者，在新授課中，要認真講解基礎概念、命題本質，更要引導學生多角度、多層次理解，進而形成概念域和命題域. 另外，在研究性創新題的解題過程中，要求學生運用多種表征方式進行解答，因為表征方式與思維方式和解題策略有密切的關系. 具體來講，就是不同的表征方式具有不同的思維和解題策略，這樣不僅能夠拓展學生的思維，培養學生的思維能力和創新能力，還能夠培養學生靈活選擇解題策略的能力，進而優化解題過程.