培養問題表征能力 提升數學核心素養

韓秀平

(上海市松江第一中學,201600)

“表征”在我國《辭?！分械尼屃x為“揭示;闡明”.在學科教育中,“表征”不能簡單地理解為揭示、復述客觀信息,還應當包括對客觀信息進行加工的再呈現.那么,數學問題的表征能力也就可以理解為在解決數學問題的過程中,個體以其經驗、知識儲備等自身要素為基礎,在接收數學問題中的客觀信息后進行加工并將之呈現于頭腦中的能力.數學問題表征是解決數學問題的前提條件,個體對問題表征的準確、多元、發散的程度對解決問題有至關重要的影響.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出,要注重培養學生包括數學建模、數學運算、數據分析等六大數學學科核心素養.核心素養的培養覆蓋了解決數學問題的全部環節,故對學生個體的數學表征能力亦提出較高的要求.

對數學問題進行準確、適當地表征可以有效推進解題,而錯誤、不當地表征則會阻礙解題思路.這種“錯誤、不當”主要體現在概念不清、遺漏隱含條件等,從而導致解題的失敗.針對上述主要表征失誤,結合培養學生核心素養的新要求,可采取以下教學策略.

一、準確引導,充分認識問題

閱讀理解題干是解題的起點,也是為準確地表征問題而收集客觀信息即“原料信息”的重要一步.在課堂教學中,要引導學生充分全面地去認識問題,包括收集問題的全部要素、挖掘隱藏條件、探索問題本質等,防止因學生審題不清、遺漏重要信息而解題失敗.

思路1因為數列{an}是嚴格增數列,所以函數f(x)只需要滿足每一段上是嚴格增數列,且保證連接處也是嚴格增數列即可,故得

思路2因為數列{an}是嚴格增數列,所以只需要滿足每一段上是嚴格增數列.因為數列中的n的取值為n≥1,n∈N,所有第一段時只需要第五項比第四項大即可,而連接處只要第六項大于第五項即可,故得

思路1的主要問題是沒有注意到條件n≥1,n∈N,遺漏這一條件會導致不同的解題思路,從而產生錯誤.面對較為復雜、繁瑣的問題,學生往往并不是一開始就能準確進行問題表征,所以在平時教學中,應注重培養學生在解題活動中的自我監控意識和元認知能力.要鼓勵學生在解題遇到阻礙時,隨時回到問題中去進行審查,并作出相應的修正和調整,直至找到準確且適當的表征形式.

二、強化訓練,準確加工轉化

在全面認識理解問題信息后,需要搜尋自身與之相關聯的經驗、知識點(即“配料信息”),將相關聯的“原料信息”與“配料信息”建立起連接,共同完成匹配環節.只不過有時兩者的關系明顯,有時需要深入觀察思考才能發現內在聯系.要有意識地引導學生在表征問題的過程中進行轉化,完成加工環節.比如幾何表征與代數表征相互轉化或者語言表征與情境表征相互轉化的情況,實現化繁為簡，找到解題的突破口.

例2已知實數x，y滿足x2+y2-4y+3=0,則x2+y2的取值范圍是______.

代數表征:因為x2+y2-4y+3=0得x2=-(y2-4y+3)且x2≥0得1≤y≤3，所以x2+y2=-(y2-4y+3)+y2=4y-3,1≤y≤3,則1≤x2+y2≤9.

幾何表征:x2+y2表示圓C:x2+(y-2)2=1上任意一點P(x,y)到原點O(0,0)距離的平方,所以|OP|max=|OC|+r=3,|OP|min=|OC|-r=1,則1≤x2+y2≤9.

面對關聯度不明顯或者聯系隱含較強的數學問題,要針對此類題型加強訓練,讓學生熟練運用各種表征形式，抓住此類問題的本質,積累經驗,靈活轉化.

三、創設情境,培養多元意識

1.多種表征形式之間的相互轉化

不同的表征形式是為了對概念或者問題進行不同的解釋,即從不同角度、不同視覺闡述其本質.為此,常常需要在某一數學概念的教學中引入多種表征方式.

本題求解的關鍵是建立不等式,結合解決最值問題常見的形式,引導學生可通過代數計算、方程、換元、三角函數等方式來表征問題,形成靈活多樣的表征方式,最終實現方法的優化選擇.

2.以問題鏈為載體,加強表征能力培養

問題鏈的方法是以問題為導向,在提出問題、分析問題、解決問題的循環邏輯中加深對數學概念的理解,找到數學題目的解答方法.問題鏈以問題為核心,以設計多層次、多角度的問題為表現形式,由淺入深、由表及里,循序漸進地推進學生的思維進程,即問題表征的進程,以此加深理解數學概念,達到最終的教學目的.

例4已知函數f(x)=x|2x-a|-1有三個零點,則實數a的取值范圍是______.

題目的題干是比較簡單的,但學生拿到這個題目后往往無從下手,對學生的思維能力要求是比較高.可以利用問題鏈的形式,將此題進行有效轉化,讓學生逐步理解這個問題所涉及的考點．

問題1若方程x(a-2x)=1有兩個不等實根,則實數a的取值范圍是______.

問題2若方程x(a-2x)=1有兩個不等正實根,則實數a的取值范圍是______.

笛卡爾說過:“我所解決的每一個問題,都將成為范例,這些范例有助于其他問題的解決”,這正是數學表征問題所具備的意義之一.首先,準確適當的數學問題表征是成功解題的第一步,有利于學生能夠從本質上理解數學概念；其次,問題表征可以提升學生的思維品質,推動其對問題條件進行深入加工,并培養邏輯推理、數學抽象等核心素養；最后,運用問題表征成功解題后的反思、整理和歸納,學生個體能夠有效掌握表征規律,并內化為自身的解題經驗和知識結構,進而構建自己的知識體系.因此，在平時的教學中,教師要給學生創造表征問題的機會和平臺,幫助學生豐富數學知識儲備庫和活動經驗,從整體上識別問題,提升思維能力、優化思維方式,切實提升解決問題能力,進而提升其數學核心素養.