HPM視角下數學學科核心素養的生成與教學實踐研究*
——以人教A版“數學歸納法”教學為例

蔣松言 高 翔 沈中宇

(1.南京信息工程大學教師教育學院，210044；2.蘇州大學數學科學學院，215006)

數學史與數學教育(HPM)是一個重要的學術領域,數學學科核心素養是新一輪課改中的重點概念,也是學者們研究的熱點問題.本文探討HPM視角下數學學科核心素養的生成,并以“數學歸納法”的教學為例,將生成機制運用到教學實踐中.

一、HPM視角下數學學科核心素養的生成機制

《普通高中數學課程標準(2017年版)》[1](以下簡稱《課標》)頒布后,許多學者研究了數學學科核心素養的生成問題.王尚志從教師、學生、課程、評價四個角度進行分析,給出了數學學科核心素養的生成方法[2];呂世虎將數學學科核心素養的體系劃分為數學雙基層、問題解決層、數學思維層、數學精神層[3];朱立明則將數學學科核心素養的結構分為數學知識、問題解決、數學思維三個層次,并闡述了不同教學內容有效組織協同、各層次教學活動共同作用、核心素養各成分相互凝聚而帶來的數學學科核心素養整體提升的過程[4].

本文基于朱立明的數學學科核心素養基本結構三層次：數學知識、問題解決、數學思維，結合汪曉勤提出的數學史融入數學教學的運用方式:附加式、復制式、順應式、重構式，嘗試構建HPM視角下數學學科核心素養的生成機制(如圖1所示)[5].其中數學史素材的運用方式與數學學科核心素養的基本結構關系如表1所示.

綜上,數學史是溝通數學教學與數學學科核心素養的橋梁,通過數學史素材的合理運用，可以為教學實踐中數學知識、問題解決的教學,乃至數學思維的培養提供豐富的素材,進而達成培養數學學科核心素養的目的.

表1數學史素材運用方式與核心素養結構的關系

二、HPM視角下數學學科核心素養的教學實踐示例

本文以“數學歸納法”的教學為例,對比傳統教學和融入HPM的教學設計,嘗試將HPM視角下數學學科核心素養的生成機制運用于教學實踐.

1.教材分析

和以往教材不同,人教A版(2019年版)將“數學歸納法”調整到選擇性必修二“數列”部分的最后一節進行教學,更加強調“數列”與“數學歸納法”之間的聯系.實際上,數學歸納法是用于與正整數相關命題的證明,和數列關系密切;同時,遞推是數列的本質屬性,亦是數學歸納法的核心思想[6],故在實際教學中需要對數列的遞推公式進行適當回顧后再展開數學歸納法的教學.人教A版教材從一道證明題入手,引導學生思考在已知遞推公式的情況下猜想通項公式并證明,在學生認識到逐項證明極其繁瑣后引出數學歸納法.通過類比多米諾骨牌倒塌的特點,向學生傳遞數學歸納法的基本思想,并基于此思想解決本節課開始的證明題.最后正式給出形式化的數學歸納法,并引導學生應用其證明簡單命題.

2.通常的教學過程

本文根據文章[7]與[8]歸納總結出常見的數學歸納法教學設計,內容如下:

情境2觀看多米諾骨牌倒塌的視頻,觀察總結其倒塌的兩個特點.

活動1根據情境2的特點,類比多米諾骨牌和數列通項,完成下列表2.

表2

活動2思考如何證明情境1中所給出的問題.

活動3閱讀教材內容,請同學回答問題:什么是數學歸納法?教師講授數學歸納法的概念及基本原理.

活動4請同學練習使用數學歸納法證明:2+4+6…+2n=n2+n.

教學設計分析這樣的教學設計較好地覆蓋數學歸納法的幾個基本要素,但仍有兩方面的問題值得深入探討:一是直接舉出多米諾骨牌倒塌的例子并讓學生總結特點,初學者往往不能抓住多米諾骨牌倒塌和數學歸納法的相似特點,容易導致實際教學效果偏于設計;二是缺少對于“P(k)到P(k+1)”中k值的任意性的解釋,可能誤導學生認為數學歸納法只能使用在解決有限項的命題上[9].從HPM視角下數學學科核心素養生成機制的角度看,此設計中數學史素材的運用往往停留在以附加式、復制式為主的方式上,數學學科核心素養的結構層次也往往停留在數學知識和問題解決層面上,難以上升到數學思維層面,仍有進一步提升的空間.

3.基于HPM的教學過程

教學過程融合“數學知識——問題解決——數學思維”的數學學科核心素養生成機制,設計了三個情境用于傳授數學知識,解決示例問題,并在幫助學生深入理解數學歸納法思想的同時，培養學生觀察發現、演繹證明等數學思維,逐步培養學生數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養.

具體教學設計如下:

情境1畢達哥拉斯學派用小石子排列成不同形狀來研究數,例如三角形數和正方形數(如圖2所示).其中正方形數每一層石子的個數依次排列可以得出奇數數列:1,3,5….

(1)求正方形數前n層石子總數Sn,即求數列前n項和.

(2)寫出Sn和Sn-1的關系式,即寫出數列{Sn}的遞推公式.

設計意圖情境1利用復制式引導學生了解三角形數和正方形數的背景,同時復習數列遞推的相關數學知識,為情境2，3利用這一數學史素材開展教學奠定基礎.

情境2同學們用求和公式可以輕松回答情境1問題(1),可早在畢達哥拉斯時代還不存在求和公式,但發現了1=12,1+3=22…，由此猜想Sn=n2.那該如何證明呢?請依次思考下列問題:

(1)怎么利用等式S1=1=12和遞推公式Sn=Sn-1+2n-1得出等式S2=1+3=22？

(2)怎么利用Sn-1=(n-1)2和遞推公式證明Sn=n2？

(3)我們知道1=12是成立的,問題(2)也可以達成,能否說明Sn=n2對所有的n都成立？

最后引出數學歸納法的概念.

設計意圖數學歸納法的發展經歷了四個階段:萌芽階段利用形數、遞推進行猜想;發展階段由證明有限項命題轉為證明無限項命題;成熟階段誕生了數學歸納法現代意義上的兩個核心步驟;形式化階段則是給出數學歸納法概念的現代形式.情境2中的猜想與三個問題重構了前三個歷史環節(如圖3所示),進而展開數學歸納法概念的教學.

情境2運用重構式,通過正方形數得到猜想,帶領學生經歷數學歸納法的歷史“萌芽階段”,再引導學生從具體情況入手,問題(1)讓學生認識到可以用n=1時的等式及遞推公式推出n=2時的等式,感受“發展階段”中有限項命題的證明;問題(2)引導學生觀察前一步可以推出后一步的現象以及n值的任意性,體驗“發展階段”中無限項命題的證明;問題(3)則引導學生認識數學歸納法的兩個核心步驟.情境2中設計的三個小問題引領學生回溯數學歸納法歷史發展的各個階段,引導學生初步認識第一數學歸納法.這樣的設計既解決以往教學設計中學生無法將多米諾骨牌倒塌特點和數學歸納法之間建立聯系的問題,又幫助學生深刻認識“P(k)到P(k+1)”k值任意性解釋的問題.在問題解決的情境中激發學生的學習動機,促進學生對數學知識的理解,逐步培養學生觀察發現、演繹證明的數學思維.

情境3講授數學歸納法的兩個基本步驟(奠基、歸納遞推),引導學生觀察三角形數,利用補成“四邊形數”的方法(如圖4所示)猜想三角形數前n層石子總數,并利用數學歸納法證明.

設計意圖《課標》要求學生“了解數學歸納法的原理,能用數學歸納法證明數列問題中的一些簡單命題”.情境3的設計一方面幫助學生理解數學歸納法的兩個基本步驟,另一方面利用順應式創設用數學歸納法證明數列中簡單命題的問題情境,幫助學生應用新知初步解決與數學歸納法相關的問題.

從《課標》要求的角度看,三個情境完成了《課標》對于數學歸納法教學的基本要求，并引導學生思考數學歸納法的基本思想,增強學生對數學歸納法的認識;從重點、難點角度看,情境1和情境3分別完成教學重點中對數學歸納法的發現和應用,情境2則突破理解數學歸納法思想這一教學難點;從HPM視角下數學學科核心素養生成機制的角度看,此設計以數學史素材為橋梁,達成數學歸納法中數學知識和問題解決的教學,突出觀察發現、演繹證明等數學思維的培育,從而逐步達成培養學生數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養的最終目的.