基于皮亞杰認知發展觀的概念建構
——以圓錐曲線相關概念為例

張曉梅 周仕榮

(閩南師范大學數學與統計學院,363000)

按照經驗主義的理論,數學概念的形成本應該是生動活潑有趣,且在教師的幫助引導下,學生憑借自己的直觀經驗感知來創造數學．此外,課標指出:高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向,提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式,激發學習數學的興趣,養成良好的學習習慣,促進學生實踐能力和創新意識的發展[1]．皮亞杰認為青少年思維發展是有跡可循的,在具體運算與形式運算兩個階段之間存在著一個質變過程.因此，要妥善運用這個關鍵期,順應學生的發展規律,有意識地培養學生學習構建新概念的知識框架體系,這對于學生形式運算階段的發展能夠起到很好的協助促進作用．

本文以圓錐曲線為例,基于皮亞杰認知建構主義發展觀，對數學概念建構進行探索．

一、皮亞杰認知發展觀融入數學概念建構的途徑

數學概念常用的教學方法多為直接講解輸出法.為了讓學生盡快地掌握圓錐曲線的解題技巧和方法,教師往往直接給出概念讓學生機械記憶,這大大忽視了圓錐曲線有關概念的建構形成過程[2]．這種為了應試教育而進行的教學,學習者無法實現對概念之間進行深層次的理解和聯系．

根據皮亞杰的認知發展觀,人的認知發展就是所謂的“建構”過程,通過不斷豐富完善達到結果圖式.在這個過程中,“同化”和“順應”起著不可或缺的關鍵作用．同化是把新刺激納入主體已有的圖式之內,起到豐富加強主體的作用,此時會引起圖式量變;順應則是改變已有圖式或形成新圖式來適應新刺激的認知過程,也就是主體原有的圖式不能同化客體,必須調整原有圖式或建立新圖式,此時圖式發生質變[3]．基于皮亞杰認知建構主義發展觀理論,在認真鉆研教材的基礎上,知悉教材中概念之間蘊含的聯系與區別,精心設計教學活動,重視利用“同化——順應”方法性概念建構,最后用問題來鞏固知識點,組織好教學活動形成完整的概念建構環節．

1.基于“同化”的概念建構

“同化”是指在學習一個新知識時,逐漸把這個新刺激納入個體已有認知結構中,但此時個體頭腦中的信息并沒有發生質變．好比“水果”認知結構中包含草莓、葡萄等,那么對于西瓜這一新刺激,可以不改變原來的圖式而直接歸納入水果的認知結構中,此過程方式即為同化．同化對于新概念的理解和接收都有著十分重要的意義,學生通過將新知識與原有知識進行比較聯合后,能夠初步形成新概念的知識框架,但原本腦中的圖式信息沒有發生質變．

例如學生在學習拋物線之前,已經初步掌握橢圓、雙曲線的有關概念和性質,能夠諳熟圓錐曲線概念的建構形成過程．拋物線是日常生活中常見的曲線,例如投擲鉛球的軌跡路線、衛星接收天線等都是拋物拱的一部分．

在講解拋物線概念時,通過建構合適的問題情境,介紹衛星接收天線、汽車車燈等光學性質,從而給予學生開拓思維的學習動機．以衛星接收天線為例,其接收面是類似于碗一般具有對稱性的曲面——拋物面,拋物面的軸截面是拋物線的一部分．將平行于拋物線軸的光線射入拋物線內部,根據光學反射與數學對稱性質知,所有的反射光線都會聚焦于軸上一點,稱此點為“焦點”并設為點F,可以簡單理解為把所有光線都聚焦于此點,從而達到更好地接收外來信號的目的．與此相反(圖1),焦點F發出的光線也會經拋物線上點的反射,同理可得最后反射光線會以平行于軸的方向射出,如射線PM．與此同時,光源F關于拋物線上過點P的切線會存在一個虛光源F′．此處設疑:若當點P取遍拋物線上的所有點時,對應虛光源F′的點構成什么圖形?畫圖思考得到虛光源F′的軌跡是一條垂直于對稱軸的直線,稱此直線為“準線”并設為直線l[2]．經過以上問題情境的分析探索,得出拋物線焦點與準線概念的由來．

結合已學過圓錐曲線知識,引導學生討論發現:若規定動點P到定點F的距離與點P到定直線l(不經過點F)的距離之比設為e．那么，當01時,點P的軌跡為雙曲線;當e=1時,點P的軌跡就是拋物線．由此,學生頭腦中原有的圓錐曲線框架會有所改變,拋物線概念這一新刺激會被納入同化到個體已有的認知結構內,完善圓錐曲線的結構體系．同化能夠幫助學生將拋物線的概念和方程歸入圓錐曲線的相關范疇,從而在面對較難的知識點時能夠做到不陌生不抗拒,進而為后續拋物線的對稱性、離心率等幾何性質的學習能有更好的輔助作用．

2.基于“順應”的概念建構

“順應”是指不能將新刺激納入已有圖式,需改變原有圖式或建立新圖式以適應新刺激的認知過程,此時圖式出現質變．這就好比水果的認知結構中包含草莓、葡萄等,那么對于生菜這一新刺激是無法歸納為水果的分支,此時就需要重新建立一個“蔬菜”的認知結構來適應新刺激“生菜”,如此改變已有圖式,原來的圖式發生質變．誠然,順應是同化的另外一種認知方式,當同化解決不了個體將新知識納入原有知識框架時,順應就起到重要的作用．

根據人教A版普通高中選擇性必修第1冊中知識點的編排,學完直線和圓的方程這一章節以后則會進入圓錐曲線的學習．學生之前對于圓錐曲線的知識少有涉獵,編排者依托循序漸進的原則,橢圓為緊跟圓后圓錐曲線的第一部分．此處先給出兩者的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的集合為圓;平面內到兩定點F1,F2的距離之和等于常數2a(2a>|F1F2|)的點的集合叫做橢圓．

在學習橢圓的知識之前,學生會認為橢圓與圓的概念類似,應該會同屬于圓形這一解析幾何結構內,但其實不然,如此反轉勢必會激發起學生的學習興趣和探究動力．通過橢圓形成的動畫展示，學生探索橢圓定義由來，教師教授橢圓本質屬性后,引導學生從其他維度分析橢圓的根本性質,辨析橢圓與圓的本質區別．隨著學習的深入,學生會發現此“橢圓”非彼“圓”,它們還是存在著很多不同點．要幫助學生將橢圓這個新刺激脫離圓而抽象出一個新的圖式,從而建立一個新的知識框架——圓錐曲線．圓錐曲線概念的建立是學生數學抽象能力提升的重大表現,此時學生能夠在已有數學知識的基礎上,面對新的概念有自己一套的理解分類方式,構建相關數學知識之間的聯系與區別．在這個過程中能夠對學生起到深刻理解橢圓概念、提高數學抽象能力的作用．

3.基于“同化與順應”相結合的概念建構

在日常的概念學習中,同化和順應兩者并不是相互孤立存在,往往是相互聯系并存的．如圖2，以圓錐曲線中“雙曲線”的 概念建構為例,給出雙曲線和橢圓的有關概念的.

經過剖析雙曲線與橢圓兩者的定義性質概念,歸納出以下結論．基于同化理論,它們都是與定點F1,F2存在某一特定關系的點集．同時,曲線上點P到點F的距離與點P到定直線l(不經過點F)的距離之比也有某一特定的比例關系．基于順應理論,雙曲線是關于軌跡上的點與兩定點之間的差值等于|2a|(|2a|<|F1F2|),而橢圓則是和值等于2a(2a>|F1F2|)．此外,雙曲線上的點到焦點的距離與到定直線l(不經過點F)的距離之比e>1,而橢圓則是0

可知,不論是同化還是順應,雙曲線都能以橢圓為已有知識和經驗為基礎進行學習,并且通過辨析兩者的聯系與區別,可以對雙曲線的知識理解更加深刻,同時也可以對橢圓的已有知識進行系統的鞏固,起到事半功倍的效果,促進學生對圓錐曲線的有效學習．

4.基于“同化與順應”建立“圖式”

同化和順應之間的相互作用總是會滿足某種協調,即適應新刺激或改變原有圖式而順應新刺激．個體的認識圖式就在這種“平衡——打破平衡——再平衡”不斷反復地由低級向高級的發展過程中得到發展[4]．簡言之,經過“同化——順應”多階段的系統學習,學生逐漸建立有關概念的專屬圖式,“圖式”是在解決相似問題時概括而成的較為固定的動作和思維模式,此過程的形成意味著學生對于概念的理解已達到比較成熟狀態．

結合杜賓斯基的APOS理論,“圖式階段”的發展要經過長期的學習活動以此進一步完善,最終在頭腦中形成綜合的心智結構[5]．正如本文討論的圓錐曲線有關概念圖式的形成,它們之間有著千絲萬縷不可分割的關系．誠如,學生在初中階段借助幾何直觀定性地描述圓的概念,直至高中對圓的再學習,將圓的幾何問題借助坐標系轉變成方程,從而定量描述圓的有關概念,完善圓的認知結構．此后,以圓錐曲線的相關概念為中心結點建立認知框架,通過之前對圓的幾何表征、定性定量分析后順應生成橢圓概念,繼而同化順應出雙曲線、拋物線等相關知識．經過以上過程,圍繞圓錐曲線這個對象結點,與其他有關內容建立一定聯系,逐漸形成一個相互關聯的層級狀認知結構,也就是“圓錐曲線”圖式．因此,圖式從一開始的初步形成,隨著知識的增加不斷受新信息的刺激反應,從而對原有圖式進行加工擴充建立起有機的聯系,形成一種動態的認知過程,頻頻精致完善，最終建立“圓錐曲線”的認知圖式．

二、基于皮亞杰認知發展觀的概念教學建議

1.注重問題情境創設,揭示概念形成和發展過程

數學學習切忌死記硬背公式定理,若不注重概念的形成過程,僅僅將概念如空降兵一樣直接給出,只是讓學生被動地接受知識,難以激發學生對數學的學習興趣．如果注重問題情境的設置,辨析概念之間的異同,引導學生理解概念的產生同化順應形成新的圖式,則可以做到幫助學生建立認知框架以及促進學生認知發展,體現學生的主體地位．如在拋物線的教學中,通過建構合適的問題情境,介紹衛星接收天線、汽車車燈等光學性質,學生開拓思維的學習動機,使學生獲得感性的體驗,引發學生思考探究,從而順利地解釋概念的形成和發展過程．

2.引導學生自主探究,培養概念構建能力

探究策略是基于學生主動參加客觀世界的研究,發展他們的自主探索能力．中學時期正是學生從具體運算向形式運算階段過渡乃至后者發展的關鍵期,在這個階段對學生進行抽象概念的建構教學既符合教學內容,更符合學生身心認知發展的順序性．因此,在進行圓錐曲線的概念教學時,以引導探究的方式將知識呈現給學生,幫助學生自主探究掌握數學概念,有的放矢地引導學生建立認知圖式的框架,從而獲得科學探究的能力和技巧,明晰各個知識之間的聯系與本質區別,培養概念構建能力,打實打牢學生的認知框架．

3.運用“同化”與“順應”,幫助學生形成概念認知圖式

結合皮亞杰的認知發展策略可知,同化和順應都可以很好地幫助教師進行圓錐曲線概念的教學,它們都是知識構建的有效方法,但到底是選擇同化還是順應則需要根據學生已有的知識經驗和數學知識本身發展脈絡來仔細考慮,馬虎不得．值得注意的是,同化與順應絕不是相互獨立、毫無交集的個體,在教學時應靈活運用同化和順應兩種建構方法,妥善結合兩，者從而促進學生的知識接收與理解,順利形成概念的認知圖式．