歸納推理能力培養的路徑研究
——以“概率與統計”教學為例

李玉秋 胡 潔 周 歡

(長江大學，434023)

進入21世紀,在數據化的發展趨勢下,對公民推理能力提出更高的要求.面對日趨復雜的生活實踐,如何從經驗出發,對未來進行決策成為關鍵問題．《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出包括邏輯推理在內的六大核心素養,其中邏輯推理素養不僅包括從一般到特殊的演繹推理,同樣包括從特殊到一般的歸納、類比.PISA2021在“學科核心素養”導向下也提出數學推理為數學素養之一,指出數學推理應該是包括演繹和歸納兩種推理形式,特別強調在變化和不確定的現實世界中,歸納推理與概率、統計知識相結合的重要性[1][2]．

就數學本身而言,雖然現代數學逐漸走向規范的、嚴謹的道路,但符號化、公理化知識都是學者歷經無數次思維的碰撞和跳躍產生的.在這個過程中歸納推理能力發揮著作用,歸納推理得到結論是數學創新的根本[3]．從數學外部的角度出發,雖然數學學科中面臨更多的是確定性的結論,但是現實世界中面臨更多的是或然性的結論．數學學習不僅在解決數學內部的問題,更多是作用于現實情境的問題解決．在日常生產生活中,我們總是在積累經驗,希望通過豐富的經驗更好地去把握未來,在這個過程中正是歸納推理能力在發揮作用.雖然這種預測不一定完全正確,但生活本身就是或然的[4]．因此,培養學生的歸納推理能力具有重要價值,不僅是數學學科發展的需要,更是時代進步的要求．

一、歸納推理能力的概述

所謂歸納推理，是指從經驗和概念出發,按照某些法則所進行的、前提與結論之間有或然聯系的推理,歸納推理仍然是一種有邏輯的推理[3][4]．歸納推理可分為基于一個類的歸納推理和基于兩個類的歸納推理,以下分別稱為歸納和類比．就其結論而言,又存在兩種情況:一是結論的成立本身可能是必然的,二是結論的成立本身是或然的．

概率研究的對象是隨機現象,是對不確定事件進行分析推理,進而預估未來發生的可能性大小,與傳統數學中確定性結論的特點有所區別;而統計研究的對象是數據,通過對數據的運算,估計和預測發展趨勢．所以,宏觀層面理解“概率與統計”的知識,可以發現其結論的成立本身是或然的,對其推斷結果判斷標準只能是“好與壞”,并不能客觀判斷出正確與否,這種推理結果正是實際生活中很多情境下普遍需要的．正如德國邏輯學家卡爾納普所說的,“歸納邏輯即歸納推理原則的理論也就是概率邏輯．” 而走進知識本身,每一個數學知識都是嚴謹的表達,每一個情境下推理出的結果都是基于題設的經驗和嚴密的數學知識而推出的.僅從數學內部來看,對經過推理得出的知識都進行了嚴格的邏輯證明,對推理結果都建立了“好與壞”的評判標準,從這個角度分析歸納推理出的結論是必然的,是具有數學學科特點的,與宏觀角度下的理解不同．

根據“概率與統計”知識的特點,理解歸納推理產生的兩種結論,可以幫助學生全面理解歸納推理的內涵和思想，這正是“概率與統計”作為高中數學內容所無可替代的．同時,概率與統計往往相結合,不容分割,共同體現歸納推理的思想,原因就在于“概率”一詞的由來是統計中“頻率”一詞,其合理性是基于最大可能性原理．因此,在新教材中,有專門一節的內容學習頻率與概率,幫助學生建立概率與統計的關系,從整體上建立認知,發揮兩者的學科價值和育人價值．

二、歸納推理能力的培養路徑

歸納推理與“概率與統計”兩者的契合,為從“概率與統計”主線探究歸納推理能力培養的路徑提供可行性分析．另外,歸納推理逐漸被普遍接受,離不開“概率與統計”領域思想的不斷建立和豐富,想要培養學生的歸納推理的能力,也要從“概率與統計”內容的學習出發．下面從“概率與統計”知識的橫向架構和縱向生成兩個途徑進行探究．

1.橫向架構

高中對于“概率與統計”知識的學習,相較于初中而言,內容上更加豐富,既有對所學知識的進一步理解,也有解決更為一般復雜情境問題的方法.在概念的表達上更加抽象嚴謹,處理的情境問題也更加切合實際．圖1和2分別是新課標“概率與統計”主線下知識框架,通過知識架構圖發現知識之間的關聯,在實際教學中強化前后知識的邏輯關系．特別地,將“準備知識”中的計數原理納入“統計”板塊,而二項式定理的內容多采用演繹推理解決數學內部的問題,所以下文具體分析中不包含二項式定理的內容．

圖1是對必修和選擇性必修中“概率”內容的梳理.從“隨機事件與概率”到“隨機變量”的整個學習過程是一個逐漸遞進的過程,環環相扣．特別是新教材中新增的“有限樣本空間”的內容,可幫助學生從集合的角度刻畫隨機事件,進而認識事件之間的關系,從頻率角度理解概率的含義,認識條件概率及其公式.最后,類比函數概念建立過程,引入隨機變量等其它概念．在整個概率板塊下,前后銜接是符合教學規律的,有助于引導學生逐步推理而成,體現知識不斷豐富的過程．

圖2是對必修和選擇性必修中“統計”內容的梳理.縱向來看,從隨機抽樣方法的介紹到樣本估計總體指標的選擇,以及統計案例的探究設計,在整體上體現統計的全過程；從數據收集到數據的描述與刻畫,最后利用提取的信息說明問題,學習內容形成一個閉環,體現統計中利用數據進行推理的全環節．橫向來看,從單變量的估計到雙變量相關關系的估計,研究思路上是一種類比推廣,研究范圍逐漸增大,適用于更多更為一般情境問題的解決,尤其是雙變量回歸分析中滲透信息技術的方法,為學生今后學習相關建模軟件作鋪墊．

2.縱向生成

除二項式定理的內容外,對“概率與統計”主線下的知識作統計,概念共有79個,其中通過歸納、類比得出的有40個,占比達50.6%;命題共有14個,通過歸納、類比得出的有3個,占比達21.4%;例題共有72個,其中用到歸納、類比解決的有56個,占比達77.8%．從上述數據可以看出,“概率與統計”中很多知識點都是通過歸納推理得出的,這與其它主線的知識有很大區別,原因在于該部分內容大多與實際情境聯系緊密,所以教材設計會創設情境,通過歸納總結共性的方式推理得出數學結論.但是在命題學習中,依舊是以演繹推理為主,這與命題本身嚴密的邏輯性的特點相符合.

3.教學片段設計

以“有限樣本空間與隨機事件”的教學設計的片段為例,體現教學設計中歸納推理的滲透．

探究1有限樣本空間

借助信息技術,模擬以下試驗:“扭蛋機”中有10個質地大小完全相同、分別標號0,1，…9的球,充分攪拌后搖出一個球,觀察這個球的號碼.

教師活動:演示動畫,提問

問題1在“扭蛋機”試驗中,共有多少個可能結果?如何表示這些結果?提示從集合的角度進行考慮.

學生活動:獨立思考.(學生可以就具體實例給出回答)

教師活動:點評學生的回答,并根據回答,引導學生抽象歸納總結給出樣本點、樣本空間的概念.結合實例進行理解.

(1)隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點.全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.

(2)一般地,用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點.

(3)如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,ω3,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,ω3,…,ωn}為有限樣本空間.

探究2隨機事件

問題2在“扭蛋機”試驗中,搖出“球的號碼為3”、“球的號碼為奇數”是否是隨機事件?

問題3從集合的角度出發,類似樣本空間表示方法,上述隨機事件可以如何表示?隨機事件和樣本空間之間有什么關系呢?隨機事件的概念又是什么呢?

教師活動提出問題2,給出提示,先借助初中對隨機事件的認識給出判斷.根據學生回答追問問題3.

學生活動學生針對問題3分小組進行討論.(學生仿照樣本空間的表示方法,可以用集合表示出隨機事件,并嘗試從集合關系出發,找到隨機事件和樣本空間的關系,歸納推理出隨機事件概念)

教師活動對小組的分享進行點評,規范表述概念的內容.

(4)樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C…表示.

在此基礎上,繼續考慮集合子集中特殊情況,引導學生認識必然事件、不可能事件.

在探究1中,以熟悉的生活情境“扭蛋機”展開探究,借助動畫展示試驗過程,吸引學生的興趣,同時拋出合適的問題,引導學生去思考,從而歸納抽象出概念,有助于學生把握概念的實質.探究2是探究1的延續,通過探究1建立集合和樣本空間的聯系,根據學生對隨機事件已有的認識出發,引導學生用集合表示隨機事件,進而類比集合的關系,推理隨機事件與樣本空間的聯系,抽象出隨機事件的概念,最后類比集合中子集的學習,探究隨機事件的極端情況.在整個教學預設中體現歸納推理,將抽象的概念借助實際情境和已有知識進行深刻理解．

綜上可知，“概率與統計”中不確定性和隨機性的思維特點,有助于全面理解歸納推理的本質．也正是這種思想契合點為歸納推理能力的培養提供可行路徑:整體上建立知識框圖,對于部分知識的生成要注重引導學生進行歸納推理．

在“概率與統計”教學中,充分發揮知識的特點,培養學生的歸納推理能力.第一,全面理解歸納推理的內涵和價值,在教學中把握“概率與統計”的思想本質和知識要點,引導學生感受結論或然性的歸納推理在日常生活中的重要價值,而對于結論本身可能是必然的歸納推理在數學內部是需要經歷演繹證明的過程;第二,注重情境創設,選擇學生所熟悉的、感興趣的情境問題,在實際問題的解決中發展學生的歸納推理能力;第三,注重知識發生發展的過程,引導學生去探究知識的產生,采用單元教學的設計,建立知識之間的聯系,體現知識間的邏輯性;第四,在例題、練習題等日?？疾橹?注重對學生推理能力的考查,在對問題的分析中發展學生的歸納推理能力．