例析新情境試題的考查要點及復習建議

王 菊 張 琥

(1.江蘇省蘇州市蘇州高新區第一中學，215000；2.北京外國語大學附屬蘇州灣外國語學校，215000)

數學學科中的情境分為課程學習情境、探索創新情境和生活實踐情境.高考命題指向是:以課程學習情境為檢驗基礎的量尺，以探索創新情境為區分甄選的手段，以生活實踐情境為拓展應用的渠道.新情境問題是每年高考試題中的亮點之一.此類問題需要從新情境中提取有效信息并作答,考查基礎知識的遷移運用、分析解決實際問題的能力.本文精心選擇一組情境新、信息量大和有一定思維深度的題目分類討論其考查要點,以期對復習應考有所幫助.

一、 數學文化

高考試題中對數學文化的考查,主要涉及中國古代數學名著,數學家或數學家故事,或數學名題等.

例1(2021年全國乙卷理科)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作,其中第一題是測量海島的高.如圖1,點E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=( )

評析本題以魏晉時期我國數學家劉徽的著作《海島算經》中的測量方法為背景,讓學生充分感受我國古代數學家的聰明才智.考查相似三角形的性質、比例的性質、直角三角形的邊角關系和推理能力與計算能力,屬于基礎題.解題關鍵是根據相似建立比例式,圍繞所求目標進行轉化.

(A)C的蒙日圓的方程為x2+y2=3b2

(D)若矩形MNGH的四條邊均與C相切,則矩形MNGH面積的最大值為6b2

二、新定義(概念)

新定義(概念)問題是指在現有的運算法則和運算律的基礎上定義一種新的概念或運算規則或性質等問題.新定義可以文字的形式出現,也可以數學符號或數學表達式的形式出現,有的甚至舉例說明.在高考中,有關新定義的考題偶爾會出現,要么在小題的壓軸題中出現,要么在解答題中出現,主要考查數學抽象、直觀想象、數學運算和邏輯推理等核心素養.

例3(2021年北京卷)定義Rp數列{an}:對實數p,滿足:①a1+p≥0,a2+p=0;② ?n∈N*,a4n-1

(1)對于前4項2,-2,0,1的數列,可以是R2數列嗎?說明理由;

(2)若{an}是R0數列,求a5的值;

(3)是否存在p,使得存在Rp數列{an},對?n∈N*,Sn≥S10?若存在,求出所有這樣的p;若不存在,說明理由.

解析(1)由條件③ 結合題意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}矛盾,故前4項2,-2,0,1的數列,不可能是R2數列.

(3)令bn=an+p,由條件③可知:?m,n∈N*,bm+n=am+n+p∈{am+p+an+p,am+p+an+p+1}={bm+bn,bm+bn+1},由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n-1=a4n-1+p

評析根據新定義來解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.透過現象看本質,考查的還是數學基礎知識的運用.

三、信息遷移

信息遷移題是由題干給出信息,要求考生運用所學的數學知識解決新情境中的相關問題.此類試題材料新穎、構思別致、有一定的思維量.考查學生的自主學習能力、閱讀理解能力以及遷移創新能力.解題時要能利用外顯信息正確模仿遷移、排除干擾信息、挖掘隱含信息、注重聯想類比.

例4(2021年全國新高考Ⅱ卷)北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中,地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36 000 km(軌道高度是指衛星到地球表面的距離).將地球看作是一個球心為O,半徑r為6 400 km的球,其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為α,記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位:km2),則S占地球表面積的百分比約為( )

(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%

評析本題考查U的近似計算,充分理解題中的計算方法是解題的關鍵,考查推理能力與運算求解能力,屬中檔題.

四、高等數學知識

在高考試卷中,以高等數學知識為背景的試題時有出現,涉及到的高等數學知識主要有歐拉公式、極限思想、特征函數、高斯函數、函數的凹凸性、洛必達法則、不動點定理等.這類問題主要考查數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

例6(2016年全國卷)Sn為等差數列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數,如[0.9]=0,[lg 99]=1.

(1)求b1,b11,b101;

(2)求數列{bn}的前1 000項和.

解析(1)設{an}的公差為d,據已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通項公式為an=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.

所以數列{bn}的前1 000項和為1×90+2×900+3×1=1 893.

例7在三維空間中,定義向量的外積:a×b叫做向量a與b的外積,它是一個向量,滿足下列兩個條件:①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b構成右手系(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致,如圖2所示)；②a×b的模|a×b|=|a|·|b|sin〈a,b〉(〈a,b〉表示向量a,b的夾角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有以下四個結論,正確的有( )

高考中引入新情境試題,就是要求重視數學文化知識的學習和數學閱讀能力的提升.在復習中,通過高考真題來充分挖掘教材中的圖片、表格、閱讀材料等信息,自主提出問題,熟悉試題的考查要求,掌握試題的設計意圖、設問角度、呈現形式.

情境的創設是基于生活實際,接近真實情境.需要多閱讀與數學有關的報刊雜志,不斷提高自己對情境材料的信息提取、圖表的分析與數據處理能力,要能從問題情境中蘊涵的數學知識、數學思想等角度全面剖析,強化信息獲取與解讀能力,構建系統的、從低階到高階的問題思維鏈,逐步提升分析問題、解決問題的能力.

試題的情境與已有知識經驗具有一定的間隙,這就需要進行知識重構,從而使知識“活起來”,同時有利于自主選擇解答路徑與方法,并能有效地調動智力和非智力因素.新情境試題在促進知識的建構、培育學科素養、發展數學核心素養等方面,都具有積極的引導作用.在復習中,應加強對新情境試題的學習與訓練.