具有公共衛生教育影響和 Lévy跳的隨機SEIS傳染病模型的動力學行為分析

師向云, 周 丹, 張泰瑞, 陸 路

(信陽師范大學 數學與統計學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

面對新冠肺炎疫情的嚴峻形勢,公共衛生教育已成為一種控制傳染病傳播的有效措施,尤其對于貧困地區以及一些信息傳播極度滯后的封閉區域,更需要加強對其進行公共衛生教育的力度[1]。最近幾年,關于公共衛生教育對傳染病影響的數學模型演變出很多類型[2-6],但它們大多是確定性模型,實際上環境干擾對流行病模型的影響不可忽略,因此有必要研究環境噪聲對傳染病數學模型的影響。噪聲包括常見的白噪聲和強度較大的Lévy跳躍噪聲[7-8]?？紤]到在傳染病發生的偏遠山區或貧困區域,常伴有地震、洪澇、火山爆發、干旱等突發性且強度較大的隨機干擾,引入Lévy跳過程可以更加準確地描述環境所帶來的擾動。因此本文建立一類具有公共衛生教育影響的隨機傳染病模型來討論疾病消失和持久的條件,所建模型如下:

(1)

式中:S(t)、E(t)、I(t)分別表示t時刻易感者、受教育者和感染者的種群密度;βSI為疾病傳染率,β是疾病傳播的有效接觸率;1/(1+piI)(i=1,2)表示易感個體數量增加時的行為變化或感染個體的擁擠效應和抑制效應,p1、p2≥0代表飽和傳染率系數;參數Λ表示進入到易感人群的比率;ε表示公共衛生教育戰略在易感人群中傳播的速度;γ表示感染者的恢復率;σ為疾病死亡率;μ為各個種群的自然死亡率;由于采取教育控制措施的力度會逐漸減弱,假設受教育者以αβEI(0<α<1)概率被感染,其中α是教育減少感染的比例系數。

定義(Ω,F,{F}t≥0,P)是一個完備的概率空間,且{F}t≥0是這個概率空間的滿足通常條件的濾子。Bi(t)(i=1,2,3)表示概率空間上相互獨立的標準布朗運動,σi>0(i=1,2,3)表示環境白噪聲強度;記

N是在(0,+∞)×Z上的泊松計數測度,λ是可測子集Z上N的特征測度,滿足λ(Z)<+∞;S(t-)、E(t-)、I(t-)分別是(S(t),E(t),I(t))的左極限,γi(u)(i=1,2,3)表示Lévy跳躍強度。

為方便計算,假設:

(A1) 對于任意的N>0,存在LN>0,使得跳躍擴散系數滿足

LN|x-y|2,|x|∨|y|≤N,

式中:Hi(x,u)=γi(u)x(t-),(i=1,2,3)。

(A2) 對于1+γi(u)>0(i=1,2,3),有

式中:C是一個正常數。

1 全局正解的存在唯一性

下面使用反證法證明。假設存在常數T>0和ε∈(0,1),使得P{τ∞≤T}>ε,則存在一個整數k1≥k0,使得對任意k≥k1,都有

P{τk≤T}≥ε。

(2)

(E-1-lnE)+(I-1-lnI),

式中:b是待定的正常數,且函數的非負性可以從u-1-lnu≥0(u>0)得出。

對函數V利用It公式,可得

dV=LVdt+σ1(S-b)dB1(t)+

σ2(E-1)dB2(t)+σ3(I-1)dB3(t)+

式中:

[γ2(u)-ln(1+γ2(u))]+

[γ3(u)-ln(1+γ3(u))]λ(du)≤

這里

選取b=(μ+σ)/β,使得bβ-μ-σ=0,因此可得

這里K是正常數,故

dV≤Kdt+σ1(S-b)dB1(t)+

σ2(E-1)dB2(t)+σ3(I-1)dB3(t)+

(3)

對式(3)兩邊從0到τk∧T積分并取期望,可得

E[V(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T))]≤

V(S(0),E(0),I(0))+KT。

令Ωk={τk≤T},k≥k1,由P{τk≤T}≥ε知,P(ΩK)≥ε,則對于每個ω∈Ωk,存在S(τk,ω)、E(τk,ω)、I(τk,ω)等于k或者1/k,于是

V(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T))≥

從而

V(S(0),E(0),I(0))+KT≥

E[IΩk(ω)V(S(τk,ω),E(τk,ω),I(τk,ω))]≥

式中:IΩk(ω)是Ωk的示性函數。令k→∞,則有

+∞>V(S(0),E(0),I(0))+KT=+∞,

矛盾。因此τ∞=+∞ a.s.。證畢。

2 疾病的消失

記

式中:X(t)是[0,+∞)上的可積函數。

且

證明根據文獻[9]中引理1的證明可以類似得到。證畢。

證明根據文獻[9]中引理2的證明可以類似得到。證畢。

接下來給出疾病消失的條件。

式中:

則傳染病I(t)消失,即

進一步可得

證明對lnI(t)運用It公式可得

(γ+σ+μ)-θ3)dt+

(4)

由基本不等式u-1-lnu≥0(u>0),可得θ3的非負性。

式(4)左右兩端從0到t上積分并除以t,可得

(5)

應用公式

d(S(t)+E(t)+I(t))≤

(Λ-μ(S+E+I))dt+

σ1S(t)dB1(t)+

σ2E(t)dB2(t)+σ3I(t)dB3(t)+

對上式左右兩邊從0到t積分再除以t,然后取上極限,再根據引理1和引理2可得

從而

對式(5)左右兩邊取上極限,再利用引理1和引理2可得

現在考慮將模型(1)中第一式與第三式相加,并對其和式兩邊從0到t積分再除以t,得到

(σ+μ)〈I(t)〉+φ1(t),

(6)

式中:

(7)

式中:

結合式(6)和式(7)可得

(8)

式(8)兩邊同時取極限,由

可知

(9)

另一方面,對于方程(1)中的第一式有

(10)

式中:

進而有

(11)

同理可得

(12)

故由式(9)有

證畢。

3 疾病的平均持久

記

式中:

式中:i=1,2,3。

式中:

即當R2>1時,模型(1)中疾病是平均持久的。

證明定義函數H:

H(S(t),E(t),I(t))=-(a1+b1)lnS-

b2lnE-lnI,

式中:a1、b1、b2是待定的正常數。

dH=LHdt-(a1+b1)σ1dB1(t)-

b2σ2dB2(t)-σ3dB3(t)-

b2ln(1+γ2(u))+

(13)

式中:

(a1+b1)βI+b2αβI+

(1+p1I)+(1+p2I)+

b2[(γ2-ln(1+γ2))+

(γ3-ln(1+γ3))]λ(du)≤

a1(ε+μ+θ1)+

b1(ε+μ+θ1)+b2(μ+θ2)+

(γ+σ+μ+θ3+2)+

[(a1+b1)β+b2αβ+p1+p2]I。

由a1、b1、b2的定義可知,

b1(ε+μ+θ1)=b2(μ+θ2)=

于是

(γ+σ+μ+θ3+2)+

((a1+b1)β+b2αβ+p1+p2)I。

(14)

對式(13)兩邊從0到t積分再除以t,同時結合(14)可得

-(γ+σ+μ+θ3+2)(R2-1)+

(15)

這里

(a1+b1)ln(1+γ1(u))+

根據引理1和引理2知

(16)

對式(15)兩邊取下極限,當R2>1時,有

證畢。

4 結論

主要研究了一類具有公共衛生教育影響和Lévy跳的隨機傳染病模型。通過構造Lyapunov函數,運用It公式等隨機理論進行分析,證明了該模型存在唯一的全局正解,并給出了疾病消失和持久的條件。

由定理2知,當R1<1時,疾病消失,并且發現:當環境白噪聲強度σ3和Lévy跳擾動強度γ3增大時,θ3也隨之增大,那么R1就會減小,這表明隨機擾動對疾病的滅絕有促進作用,且擾動強度越大,疾病越容易滅絕。結論表明,隨機擾動對于疾病的控制具有抑制作用。

為了確定因受教育而減少感染的比率α的變化是如何影響疾病傳播的,對基本再生數R2關于參數α進行敏感性分析,具體由下式給出:

這意味著α參數值的減小將導致R2的減小,也就是說α越接近0,教育在預防疾病感染上的效果越好,使得基本再生數越小,疾病感染的人數越少。這充分說明公共衛生教育對于疾病傳播的影響較大,且有一定的抑制作用。