新課程實施以來國內“幾何直觀”研究綜述

蔣會兵　張定強

幾何直觀是《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《標準》）中明確提出的十大核心概念之一，并將其界定為：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.”[1]新一輪基礎教育課程改革一直都把重視學生幾何直觀能力的培養作為數學教學的重要任務之一，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中將幾何直觀作為空間觀念的一部分，而在《普通高中數學課程標準（實驗）》中明確提出培養學生的幾何直觀能力[2-3].為了進一步解析幾何直觀內涵及教育價值，探究培養學生幾何直觀能力的策略，一些專家、學者以及一線教師對幾何直觀進行了大量的研究，取得了豐富的研究成果.本文以新課程實施以來國內關于幾何直觀的文獻為研究對象進行文獻綜述，主要對幾何直觀的內涵、教育價值、在教學實際中的應用以及培養策略等方面進行綜述，并對幾何直觀研究進行簡要述評，進而探討幾何直觀未來的研究走向.

1新課程實施以來國內幾何直觀的研究現狀

1.1幾何直觀的內涵研究

幾何直觀作為《標準》中的十大核心概念之一，概念本身具有著豐富的內涵，在數學教學中有著重要的地位和作用.而對于幾何直觀概念在《標準》中主要是以描述性解釋的方式加以界定，主要體現的是幾何直觀的價值及意義，對幾何直觀概念的數學本質揭示還不夠完善.為了對幾何直觀的內涵有更深入的理解，研究者們從不同的視角對幾何直觀的內涵提出了自己獨到的見解與看法.

張海生認為幾何直觀內涵理解主要包含兩個層次：一是幾何；二是直觀.幾何主要是指圖形，直觀就是借助于經驗、觀測、測試或類比聯想，所產生對事物關系直接感知與認識，通過直觀建立起人對自身體驗和外部體驗的對應關系[4].這種層次視角的理解與《全日制義務教育數學課程標準（2011版）解讀》中對幾何直觀的理解相類似，并且特別指出直觀并不是停留在直觀、表面上的初步體驗，而是一種通過圖形所展開的想象力，是一種透過現象看本質的洞察力.

苑建廣認為幾何直觀是以圖形和直觀符號為活動要件，以直觀化的信息加工過程為形態的一種認知方式，在數學教學活動中起著關鍵作用.并且認為學生形成和使用幾何直觀是有水平和層次差異的.為此，他提出了幾何直觀的三個層次：第一層次，建立和形成敏捷而準確的幾何直觀——感覺與圖形相隨；第二層次，實施深入而靈活的幾何探索——視角與思維共行；第三層次，成為分析和解決問題的有效工具——抽象與形象互輔.在每一個層次之下都有三個具體的表現特征，為刻畫和理解幾何直觀的內涵提供了更加詳細的理論框架[5].

孔凡哲，史寧中認為幾何直觀是指借助于見得到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知和整體把握的能力.幾何直觀是一種特殊的數學直觀，具體可以體現為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、代替物直觀等四種表現形式.為了更好的理解幾何直觀的內涵，將幾何直觀與空間觀念、幾何推理、幾何直覺等核心概念進行比較分析，從本質上理解它們的區別與聯系[6].

劉曉玫認為幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學內容緊密相連，很多重要的數學內容和概念都具有雙重性，既有“數的特征”，也有“形的特征”，必須從這兩個角度認識他們，只有這樣才能使這些內容、概念變得形象、直觀，變得可以運用它們去思考問題，形成幾何直觀能力.借助圖形描述事物不僅可以把抽象事物直觀化，使人們更容易了解其內在的性質和規律，而且還可以找到解決問題的途徑和方法[7].

蔡宏圣認為對于幾何直觀的理解可以從以下幾個方面進行：（1）幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”；（2）對圖形的理解可以寬泛一些；（3）圖形更為重要的是表達關系；（4）要看到圖形直觀性，更要看到圖形的抽象性；（5）幾何直觀是種意識，也是種技能與能力，更是種思維方式[8].

1.2幾何直觀的教育價值研究

關于幾何直觀教育價值問題的探討，我國學者普遍認為數學教學中重視幾何直觀的培養有助于學生更好地理解概念本質及探索規律，有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化，有助于培養學生的思維能力及創新能力等.

許新征認為幾何直觀的教育價值主要表現為：（1）借助幾何圖形，理解數學概念；（2）借助幾何圖形，分析數學問題；（3）借助幾何圖形，探索數學規律[9].

黃國洪認為小學階段培養學生的幾何直觀能力，首先，從直觀教學開始，注重操作，引導學生把圖形畫出來；其次，重視變換，讓圖形動起來；再次，借助幾何直觀培養推理能力；最后，逐步引導學生在解決數學問題的過程中，滲透數形結合的思想，感悟數與形之間的相互轉化，使學生的認知多元化，以更好發揮幾何直觀的教學價值[10].

劉愛東認為幾何直觀在學生數學學習過程中具有不可替代的作用：一方面，可以幫助學生直觀地理解數學，借助圖形，使得抽象的概念、算理、法則、公式變得形象簡明；另一方面，也能培養學生利用幾何直觀發現問題、分析問題、簡化思路，尋求個性化數學思考的能力.并將幾何直觀教育價值進一步細化為：依托直觀支持，深化概念理解；把握數學本質，優化思維表達；完善數學建構，引領顯性建模[11].

劉新敏認為幾何直觀在學生日常學習和數學理解過程中具有重要的作用，主要表現為以下幾個方面：（1）借助幾何直觀可以幫助學生理解抽象的數學概念；（2）借助幾何直觀可以幫助學生理解算理；（3）借助幾何直觀可以幫助學生更好的實現理解和記憶；（4）借助幾何直觀可以幫助學生分析數量關系；（5）借助幾何直觀可以幫助學生認識圖形的特征[12].

1.3幾何直觀在教學實際中的應用研究

幾何直觀在數學教學中的教育價值已得到大家認可，但如何在數學課堂中滲透幾何直觀卻讓很多教師犯難.為此，一些教師結合自己的課堂教學內容將幾何直觀滲透到實際的教學內容之中，為一線課堂教學如何滲透幾何直觀提供了具有可操作性的理論借鑒.endprint

劉善娜通過小學數學運算概念的教學片斷，詳細論述運算概念教學中如何滲透幾何直觀.她認為，幾何直觀可以借助形與數的對應幫助學生理解形與數的關聯，有助于運算概念的引入；可以借助形的表象來幫助學生理解抽象的運算算理，有助于運算方法的理解和掌握；可以借助形的幾何推算激發學生對運算規律的探究欲望，有助于運算規律的運用[13].

曹軍結合自己日常教學中教學片斷，例舉了具體的教學片斷來呈現教學過程中如何滲透幾何直觀，并進一步分析幾何的教學價值.通過“認識公倍數”的教學片斷，借助幾何直觀性和圖形之間的聯系，有效的闡明了數與數之間的聯系，將抽象的數學概念形象化、簡單化，使學生對公倍數的概念有了清晰的認識.通過“分數與分數相乘”教學片斷，詳細介紹如何借助幾何直觀理解計算算理.最后，通過“有關面積計算的實際問題”的教學片斷，提出通過“獨立畫圖——交流畫法”的學習模式，使學生利用幾何直觀解決實際問題[14].

姚高文通過幾何直觀在問題表征中的應用舉例，認為幾何直觀在問題表征中的應用主要體現為四個方面：（1）依托實物模型進行問題表征；（2）依托抽象模型進行問題表征；（3）依托簡約示意圖進行問題表征；（4）依托線段圖進行問題表征[15].

許冰彬認為數學教學中幾何直觀的滲透應該做到以下幾點：（1）強化用圖意識，建立抽象與現實的聯系；（2）善用讀圖能力，實現表象與語言的轉化；（3）關注運動想象，貫徹表征與概念的統一；（4）巧于構造圖形，尋求代數與幾何的平衡[16].

1.4幾何直觀能力的培養策略研究

幾何直觀能力的培養對數學教學以及學生個體的發展都有著重要的價值和意義.在幾何直觀能力培養策略研究方面，我國學者從不同的視角提出了不同的觀點及看法，為培養學生幾何直觀能力提供了有價值的理論指導和實踐參考.

黃偉星、顧曉華認為小學數學教學中培養學生幾何直觀能力首先要從直觀教學入手，引導學生學會用畫圖的策略分析題意，解決簡單的實際問題，逐步上升到能將直觀圖與數學語言、符號語言進行合情轉化，并逐步在解決數學問題的過程中滲透數形結合思想.感悟數與形、形與數之間的轉化.具體表現為：（1）重視直觀感知，突出畫圖策略的培養；（2）重視直觀圖形與數學符號的合情轉化；（3）重視數與形的結合[17].

石麗輝認為培養學生幾何直觀能力的有效途徑主要有：第一，注重模型的作用，讓學生參與模型的制作；第二，培養學生的畫圖能力；第三，多進行文字語言、符號語言和圖形語言之間的互譯訓練[18].

苑建廣認為，教師在教學過程中應該準確把握以下幾個方面：第一，在內容學習方面，應借助實物或者實物直觀引入幾何概念，幫助學生深化對幾何命題的理解；第二，在知識應用方面，應幫助學生樹立應用幾何直觀的意識，養成借助幾何推理的習慣；第三，從教學評價方面看，應改進評價方法，實施多元評價[5].

楊孝斌、任勁松認為學生幾何直觀能力培養的策略主要有：（1）重視幾何直觀教學與學生實際生活的聯系；（2）重視學生對幾何對象的觀察與操作；（3）重視幾何教學與其他知識教學的聯系；（4）重視學生用語言表述對幾何問題的直觀感受；（5）重視幾何直觀的合情推理教學；（6）重視現代信息技術在幾何直觀教學中的應用[19].

2“幾何直觀”研究現狀評述

自新課程實施以來，國內學者對幾何直觀的四個方面進行了較多的探索和研究，使得幾何直觀成為了一個新的研究熱點.已有的研究在理論和實踐層面都取得了一定的研究成果，具有一定的研究價值.但從定量分析和客觀角度來看，關于幾何直觀的研究仍然存在有待改進和提升之處.

2.1對幾何直觀內涵理解不清

幾何直觀作為《標準》中提出的十大核心概念之一，其內涵是豐富多樣的.由于研究者理解視角和水平的差異，使得在研究過程中對幾何直觀內涵的理解存在以下不足：大部分學者對幾何直觀沒有給出確切的涵義，只是引用《標準》中給出的描述性解釋或是將幾何直觀分為“幾何”與“直觀”兩個方面進行解釋，沒有從本質上解釋他們之間的內在關聯.因此，對幾何直觀內涵理解不清，就會導致在研究或教學中出現含混不清、模棱兩可的現象.

2.2幾何直觀教育價值認識不到位

幾何直觀在數學教學以及學生能力培養方面有著重要的價值及意義，但在教學和研究過程中存在對幾何直觀教育價值認識不到位的現象.現有的研究只是從理論分析視角闡述了幾何直觀的“應然價值”，沒有結合教學實際從教學過程中分析幾何直觀在數學教學和培養學生能力方面的“實然價值”.為此，只有通過結合實際的教學，從幾何直觀的本質及教學實際出發，將二者有機結合到一起，才能真正發揮幾何直觀的教育價值.

2.3幾何直觀在教學中應用研究不深入

幾何直觀在數學教學的很多地方都可以體現，將幾何直觀應用到實際的教學中，通過幾何直觀的滲透來完成教學任務，這是幾何直觀研究的重要內容.但通過已有研究發現：幾何直觀的數學教學中實際應用的研究相對較少，通過具體的實例來體現幾何直觀在教學中的應用也相對缺乏.另外，在已有的研究中多以幾何直觀在小學數學教學中應用為主，對初、高中幾何直觀在數學教學中應用研究匱乏.

2.4缺乏對幾何直觀能力的實證研究，培養策略實際操作性不強

幾何直觀能力的培養是教學的主要目的，通過在數學教學中滲透幾何直觀，培養學生幾何直觀能力，提高學生數學素養，促進學生全面發展.通過對已有研究成果分析發現：幾何直觀能力培養策略的研究中缺乏實證性研究，對學生幾何直觀能力的具體水平劃分不清楚.因此，提出的幾何直觀能力培養策略不切合實際，可操作性不強，缺乏針對性.并且研究的對象主要是以小學生為主，對中學生幾何直觀能力水平缺乏實證研究.

3“幾何直觀”研究展望

幾何直觀對教師的教學以及學生的數學學習都有著重要意義，它可以看做是一項基本的能力.為此，我們應該給予其高度的重視，通過相關研究為教師教學和學生幾何直觀能力的培養提供有價值的理論指導和實踐參考.筆者認為未來幾何直觀研究應重視以下四個方面：endprint

3.1進一步明晰幾何直觀內涵

盡管研究者對幾何直觀的內涵有了一些認識，但是大多數都是基于《標準》基礎之上的理解及解釋，沒有從數學本質對幾何直觀內涵進行深入的理解.幾何直觀的內涵是進行幾何直觀教學、培養幾何直觀能力的基礎，所以深入理解幾何直觀內涵具有十分重要的意義.未來研究中需結合數學哲學，數學史從幾何直觀的發展演變過程對幾何直觀進行理解，并結合相關概念，如“幾何直覺”、“空間觀念”等.從概念的區別和聯系進一步明晰幾何直觀內涵.

3.2強化對幾何直觀教育價值的認識

幾何直觀的教育價值是寬泛的，不僅對學生的數學學習有重要的意義，而且對學生思維能力、創新能力的發展也具有重要的價值.為此，不管是在研究過程還是教學過程中都應高度重視幾何直觀在教學以及學生能力培養方面的重要作用.通過實際的教學過程將幾何直觀的“應然價值”轉化為適合學生發展的“實然價值”.

3.3深化幾何直觀在教學中的應用研究

很多的教學內容、概念、定理等都具有“數”與“形”兩個方面的本質特征，這些內容的教學過程中幾何直觀具有重要的作用.為此，幾何直觀在教學中的應用就成為了研究的重點.未來幾何直觀在教學中應用研究應該做到以下幾點：（1）多以具體的教學內容為載體，通過巧妙的設計，在教學過程中充分體現幾何直觀；（2）加強幾何直觀在中學教學內容中的應用研究.

3.4大力開展實證性量化研究，提出具有實踐性、可操作性的培養策略

幾何直觀能力是學生能力發展的重要組成部分之一，是學生要求具備的基本能力之一.了解和掌握學生幾何直觀能力水平，對學生幾何直觀能力培養策略的提出有著重要意義.因此，未來研究中需要大力開展幾何直觀能力的實證性量化研究，通過具體的實證研究結合學生的發展特點，有針對性的提出具有實踐性、可操作性的培養策略.進而在日常教學中幫助學生不斷提高自己的幾何直觀能力，促進學生能力全面發展.

4結束語

幾何直觀是影響中小學生數學發展的重要因素之一，培養和發展學生的幾何直觀，是數學課程“圖形與幾何”領域的核心目標之一[6].幾何直觀的研究對數學教學以及學生能力的發展都有著重要的意義.為此，研究過程應選擇適切的問題，采用科學的方法，找準切入口，以綜合系統的觀點分析現象，并通過實證性的比較分析，提出具有實踐性、可操作性的幾何直觀能力培養策略.

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