2020年澳大利亞HSC數學考試壓軸題解法賞析*

張 倩 (山西師范大學教師教育學院 041004)

沈 威 (廣東省惠州學院數學與統計學院 516007)

1 引言

High School Certificate Examination(以下簡稱HSC考試)是澳大利亞新南威爾士州的高中畢業聯考，是由新州教學委員會組織的對高中畢業生進行的一項水平考試．HSC數學考試歷史悠久，在澳大利亞高考中占有重要地位，其出題方式、考查內容深刻體現了澳大利亞高中數學課程標準要求，具有科學性和公平性．目前，HSC考試已得到世界上主要國家和地區教育界的承認，學生在HSC考試中的成績可以申請這些認可該成績的國家的大學．HSC數學試題注重一般數學知識與現實實際情境的聯系，它的題量大，考查內容廣泛，解題時間較長，最后的壓軸題與大多數數學試卷一樣也具有分值高、難度大的特點，有一定的區分性和綜合性.接下來我們對2020年HSC數學考試壓軸題中的(a)小題進行賞析．

2 試題分析

HSC數學試卷共包含10道選擇題和6道解答題，考試時長165分鐘，滿分100分．1～10題為選擇題，每道分值為1分，選擇題部分的分值僅占全卷10%．11～16題為解答題，每道大題包含 3～6個小題，每道小題從易到難由1～4個小問組成，每道大題分值13到18分不等，共計90分．本文選取的是2020年第16題，該大題分值為14分，分為(a)(b)(c)三個小題，其中(a)題的三個小問共占5分．

(a)Michelle借了450 000美元，在25年的時間里每月定期償還P美元，其中年利率為6%，每月可扣減，利息在每次還款前計算和收?。OAn為n次還款后剩余的欠款．

(i)證明兩次還款后剩余欠款的表達式為

A2=450000×(1.005)2-P×1.005-P；

(ii)證明n次還款后剩余欠款的表達式為

(iii)計算每月定期償還的金額P.

2.1 考點分析

等比數列是高中必修數學的重點內容之一，為學生進一步學習高等數學中的極限、級數等內容作鋪墊，在我國的高考中也是重點考查知識之一．在澳洲高考中，學生要能夠理解其中不同的還款方式的不同計算方法，并能夠根據題中還款方式的特點建立迭代和等比數列求和的數學模型對問題進行求解．

一般銀行的還款方式主要有兩種[1]：一種是等額本息還款，是指把按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分攤到還款期限的每個月中．作為還款人，每個月還給銀行固定金額，但每月還款額中本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減；另一種是等額本金還款，是指把按揭貸款的本金總額平均分攤到每個月內，同時付清上一交易日至本次還款日之間的利息．這種還款方式相對等額本息還款而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負擔逐月遞減．

試題顯然考查的是等額本息還款法的計算．要求學生在具體情境中，利用等額本息還款數學模型，通過邏輯推理遞推論證欠款表達式．試題綜合考查了數列的通項公式與求和、復利的相關計算等數學知識，還考查了分類與整合、特殊與一般、極限思想等數學思想方法的掌握情況．

試題緊密結合生活實際中的貸款問題，了解購房貸款、分期還款、復利計算的知識對于學習“實用數學課程”[3]的學生來說具有較大的實際意義．前兩個小題都是證明題，可以較好地考查學生對于基本概念定理的理解，有利于培養學生的邏輯推理和數學建模等數學核心素養，塑造嚴謹的強調因果可循的思維方式，遞進式的出題方式也考慮到了學生個體之間的差異性．

2.2 解題難點

首先，澳大利亞HSC數學考試用時較長，考查范圍廣泛，學生要思維敏捷、高效解題，才能給壓軸題留出足夠的思考書寫時間．題目中的數量關系又較為復雜，因此考生要有良好的心理素質和一定的閱讀理解能力以及信息整理能力．考生如果在前面的題目中耗費太多時間，那么在面對最后一道解答題時難免緊張慌亂，此時仔細審題，確定試題中復利還款的計算方式，建立合適的數學模型進行解題等對學生來說也成了一大難點．

其次，要區分題中的數量關系應該是等額本息還款還是等額本金還款．學生需要深入了解生活中的數學，找到問題的切入點，運用數學建模思想在具體情境中抽象出數學關系，構建等額本息還款的數學模型，恰當選擇使用數學歸納法來提高計算效率，并運用數學的觀點去分析解決數學問題．由第一次還款和第二次還款后的剩余欠款等式遞推求證n次還款后剩余欠款的表達式時，需要學生運用數學歸納法對所得等式進行整合，這也是試題難點之一．

最后，在計算每月還款金額時，選擇合適的換算基點進行計算也有一定難度，且要保證換算的關系式準確，在歸納簡化的過程中不出錯．雖然HSC數學考試允許學生攜帶符合NESA標準(澳大利亞新南威爾士州教育專業標準)的計算器，但要想準確計算出每月還款金額也并非易事，還需學生思路清晰，書寫規范．

3 解法分析

試題中約定每月以相等額度平均償還貸款本息，貸款的本金總額450 000美元與利息總額相加，平均分攤到還款期限25年中的每個月，每個月的還款額是固定的P美元，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減．在復利計息的情況下,設n次還款后的欠款為An，可建立數學模型對其進行求解．

第二次還款后的剩余欠款為A2=A1×1.005-P=450 000×1.0052-P×1.005-P，得證．

(ii)數學模型：An=An-1×1.005-P，n= 1,2,…,300．

由(i)中表達式遞推可得An=450 000×(1.005)n-P×(1.005)n-1-…-P．即An= 450 000×(1.005)n-P(1.005n-1+…+1)．

方法3(終值法) “終值”是指n期后的本利和，計算的基點是存期的終點．

第一次還款P,折算成終值為P×(1.005)299；第二次還款P,折算成終值為P×(1.005)298；……第n次還款P，折算成終值為P×(1.005)300-n；……第300次還款P,就是這一次的終值．每次還款P折算成的終值的和,應該是現值450 000折算成的終值450 000×(1.005)300．故P(1.005299+1.005298+…+1)=450 000×(1.005)300．

本題比較容易想到用方法1，因為在前兩個小題中已經求出了每次還款后剩余欠款An的表達式，所以只需要找到貸款還清時的數量關系式，代入還款總期數即可求解，不需要再用數學歸納法簡化數量關系式，也可減少解題步驟，降低錯誤率．三種解法的本質是一樣的，只是換算的基點不同，一般來說都選擇終值作為基點進行換算，但是方法1相比終值法來說更容易理解．

4 思考與啟示

2020年澳大利亞HSC高考數學試題中，等比數列的知識通過“借貸與復利”作為綜合性較強的解答題壓軸題間接進行考查，分值占全卷5%；我國的數學高考試題中，數列的相關知識則常作為解答題的“起點題”進行考查，分值占全卷8%．作為高分值的解答題，HSC試題中“借貸與復利”知識點的考查方式值得我們思考學習．

4.1 適應社會需求，培養數學意識

澳大利亞高中數學包含4種課程，分別針對不同學生群體的學習和就業需求，旨在為不同層次的學生提供其所必需的數學與統計學知識及技能．其中“實用數學課程”[3]的核心就在于幫助學生有效、高效地運用數學知識解決實際情境中的問題．(a)題在考查學生的知識掌握情況時，聯系生活實際創建合理的問題情境，結合其他學科的知識特色綜合命題，既保留了數學學科自身的特色，又與其他的學科知識緊密聯系，體現了數學學科的核心素養要求．在我們的數學課堂教學中，也應適當增加知識與具體情境的聯系，讓學生在解題練習中對數學與實際的聯系有更加直觀的認識和理解，也就更容易將數學思維能力遷移到現實生活中的問題解決過程中去．讓選擇直接就業和參加職業教育培訓的學生學習更加基礎實用的數學知識，了解社會生活中的數學知識，積累數學經驗，發展技能和理解能力．學生習慣運用數學能力和數學思想解決生活問題，從而讓數學知識更好地為生活實際服務．

4.2 注重數學表達，鍛煉邏輯思維

澳大利亞高中數學課程標準中指明了數學和統計學兩者的本質與價值，它強調對學生各方面能力的培養，主要包括：(1)運用數學和統計學知識與方法解決實際問題的能力；(2)在數學和統計學情境中進行推理與解釋的能力；(3)運用數學或者統計學語言進行交流的能力；(4)有效地選擇和使用技術的能力；(5)運用數學和統計學知識進行數學證明的能力．試題中的(i)(ii)小題直接給出了表達式，要求學生推理論證，正是考查學生的數學表達能力．學生不僅要理解等額本息還款法的計算方式，能用它解決數學試題，還要能夠在數學情境中抽象出數量關系式，在不影響試題本質特征的前提下，利用數學歸納法將模型變形簡化為需要論證的剩余欠款表達式，并用數學語言將復雜的數學信息和自己的思考計算過程簡明精煉地解釋清楚．在解題過程中，可以有效鍛煉學生的邏輯推理素養．基于此，我們也應當考慮在教學中更加重視學生的數學表達能力訓練，提高學生用數學語言進行交流的能力．

4.3 探究競賽試題，提升建模素養

我國高考曾在試題中融入有關彩票與抽獎的概率統計模型、有關物資調運工期效益的優化模型、有關折疊視圖的空間幾何模型等對學生的數學建模素養進行考查．現值、終值計算復利的題目也與數學建模中的社會經濟模型息息相關，可以綜合考查學生的數學學科素養，然而相關的試題卻僅在北京市首屆“方正杯”中學生數學知識應用競賽等中學生數學競賽試題中出現．類似的知識點雖然已在我國高中數學必修五第二章“數列”的探究與發現“購房中的數學”中作為拓展類知識出現，但高考中卻不曾以這種方式對知識點進行考查．并且這種題型不是應試重點，數量關系復雜抽象，解答又有一定難度，導致很多學生都不會認真去了解這類題目．教師應當注意在教學中拓展呈現此類試題，比如在數列課程教學后，展示購房貸款問題，并鼓勵學生對其進行深入探究交流，讓學生進一步考慮到其中的非數學因素對建模的影響，演繹檢驗所建模型的可行性，評價模型的優點與不足，提出改進建議，由此達到提升學生的建模素養和創新意識的目的．這類試題雖然對于學生數學能力的要求較高，但可以有效培養學生的數學核心素養，讓學生能高效解決未來生活中遇到的這類問題，避免在生活中“踩坑”，具有重要的現實意義．